二次方程式 $x^2 + 3(a-2)x + 5a - 7 = 0$ の一つの解が $-3$ であるとき、$a$ の値を求め、もう一つの解を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 + 3(a-2)x + 5a - 7 = 0$ の一つの解が $-3$ であるとき、$a$ の値を求め、もう一つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = -3$ を二次方程式に代入して、$a$ の値を求める。

$(-3)^2 + 3(a-2)(-3) + 5a - 7 = 0$

これを整理する。

$9 - 9(a-2) + 5a - 7 = 0$

$9 - 9a + 18 + 5a - 7 = 0$

$-4a + 20 = 0$

$4a = 20$

$a = 5$

次に、$a = 5$ を元の二次方程式に代入して、二次方程式を解く。

$x^2 + 3(5-2)x + 5(5) - 7 = 0$

$x^2 + 3(3)x + 25 - 7 = 0$

$x^2 + 9x + 18 = 0$

これを因数分解する。

$(x+3)(x+6) = 0$

よって、$x = -3$ または $x = -6$

問題文より、解の一つは $-3$ であるから、もう一つの解は $-6$ である。

3. 最終的な答え

$a = 5$

もう一つの解は $-6$