ベクトル $\vec{a} + \vec{b} = (1, 4)$ と $\vec{a} - 2\vec{b} = (4, -5)$ が与えられたとき、$2\vec{a} - \vec{b}$ の大きさを求めよ。

## 問題１

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} + \vec{b} = (1, 4)$ と $\vec{a} - 2\vec{b} = (4, -5)$ が与えられたとき、$2\vec{a} - \vec{b}$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を求めるために、与えられたベクトルに関する連立方程式を解きます。

$$\vec{a} + \vec{b} = (1, 4) \qquad (1)$$

$$\vec{a} - 2\vec{b} = (4, -5) \qquad (2)$$

(1) - (2) を計算すると、

$$3\vec{b} = (1 - 4, 4 - (-5)) = (-3, 9)$$

$$\vec{b} = (-1, 3)$$

これを(1)に代入すると、

$$\vec{a} + (-1, 3) = (1, 4)$$

$$\vec{a} = (1 - (-1), 4 - 3) = (2, 1)$$

次に、$2\vec{a} - \vec{b}$ を計算します。

$$2\vec{a} - \vec{b} = 2(2, 1) - (-1, 3) = (4, 2) - (-1, 3) = (4 - (-1), 2 - 3) = (5, -1)$$

最後に、$2\vec{a} - \vec{b}$ の大きさを計算します。

$$|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{26}$

## 問題２

1. 問題の内容

$\vec{a} = (1, 2)$, $\vec{b} = (-2, 3)$, $\vec{c} = (-3, 8)$ のとき、$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ を満たす $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ を成分で表すと、

$$(-3, 8) = x(1, 2) + y(-2, 3) = (x - 2y, 2x + 3y)$$

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$$x - 2y = -3 \qquad (1)$$

$$2x + 3y = 8 \qquad (2)$$

(1) x 2 - (2) を計算すると、

$$(2x - 4y) - (2x + 3y) = -6 - 8$$

$$-7y = -14$$

$$y = 2$$

これを(1)に代入すると、

$$x - 2(2) = -3$$

$$x - 4 = -3$$

$$x = 1$$

3. 最終的な答え

$x = 1$, $y = 2$

## 問題３

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{m} = (1, p)$ と $\vec{n} = (p+3, 4)$ が平行になるとき、$p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つのベクトルが平行であるとき、一方のベクトルは他方のベクトルの定数倍で表すことができます。つまり、

$$\vec{n} = k\vec{m}$$

$$(p+3, 4) = k(1, p)$$

これから以下の連立方程式が得られます。

$$p+3 = k \qquad (1)$$

$$4 = kp \qquad (2)$$

(1)を(2)に代入すると、

$$4 = (p+3)p$$

$$4 = p^2 + 3p$$

$$p^2 + 3p - 4 = 0$$

$$(p+4)(p-1) = 0$$

$$p = -4, 1$$

3. 最終的な答え

$p = -4, 1$