実数 $x$ に対して、$A = x(x+1)(x+2)(4-x)(5-x)(6-x)$ とする。整数 $n$ に対して、$(x+n)(n+4-x) = x(4-x) + n^2 + \boxed{ア} n$ である。$X = x(4-x)$ とおくと、$A = X(X + \boxed{イ})(X + \boxed{ウエ})$ と表される。$x = 2 + \sqrt{2}$ のとき、$X = \boxed{オ}$ であり、$A = \boxed{カキク}$ である。空欄を埋める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$A = x(x+1)(x+2)(4-x)(5-x)(6-x)$ とする。整数 $n$ に対して、$(x+n)(n+4-x) = x(4-x) + n^2 + \boxed{ア} n$ である。$X = x(4-x)$ とおくと、$A = X(X + \boxed{イ})(X + \boxed{ウエ})$ と表される。$x = 2 + \sqrt{2}$ のとき、$X = \boxed{オ}$ であり、$A = \boxed{カキク}$ である。空欄を埋める。

2. 解き方の手順

まず、$(x+n)(n+4-x) = x(4-x) + n^2 + \boxed{ア} n$ を考える。

$(x+n)(n+4-x) = x(4-x) + nx + n(4-x) + n^2 = x(4-x) + nx + 4n - nx + n^2 = x(4-x) + n^2 + 4n$。

したがって、$\boxed{ア} = 4$。

次に、$A = x(x+1)(x+2)(4-x)(5-x)(6-x)$ を $X = x(4-x)$ で表すことを考える。

$A = x(4-x)(x+1)(5-x)(x+2)(6-x)$

$A = x(4-x)(x+1)(5-x)(x+2)(6-x) = x(4-x)(x+1)(5-x)(x+2)(6-x)$

ここで、

$(x+1)(5-x) = 5x - x^2 + 5 - x = -x^2 + 4x + 5 = x(4-x) + 5 = X+5$

$(x+2)(6-x) = 6x - x^2 + 12 - 2x = -x^2 + 4x + 12 = x(4-x) + 12 = X+12$

したがって、$A = X(X+5)(X+12) = X(X+\boxed{5})(X+\boxed{12})$。よって、$\boxed{イ} = 5$、$\boxed{ウエ} = 12$。

$x = 2 + \sqrt{2}$ のとき、$X = x(4-x) = (2+\sqrt{2})(4-(2+\sqrt{2})) = (2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$。

したがって、$X = \boxed{2}$。

$X=2$ を $A = X(X+5)(X+12)$ に代入すると、$A = 2(2+5)(2+12) = 2(7)(14) = 2(98) = 196$。

したがって、$A = \boxed{196}$。

3. 最終的な答え

ア：4

イ：5

ウエ：12

オ：2

カキク：196