与えられた6つの2次式をそれぞれ平方完成させる問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次式をそれぞれ平方完成させる問題です。

2. 解き方の手順

平方完成は、一般に $ax^2 + bx + c$ の形の2次式を $a(x-p)^2 + q$ の形に変形することです。

各問題について、以下の手順で平方完成を行います。

(1) $x^2 + 2x$

* $x$ の係数の半分を考えます。この場合、2の半分は1です。

* $(x+1)^2$ を展開すると $x^2 + 2x + 1$ となります。

* したがって、$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ となります。

(2) $x^2 - 4x + 6$

* $x$ の係数の半分を考えます。この場合、-4の半分は-2です。

* $(x-2)^2$ を展開すると $x^2 - 4x + 4$ となります。

* したがって、$x^2 - 4x + 6 = (x-2)^2 - 4 + 6 = (x-2)^2 + 2$ となります。

(3) $2x^2 + 4x + 1$

* まず、$x^2$ の係数である2で全体をくくります。

$2(x^2 + 2x) + 1$

* 括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分は1なので、$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ となります。

* $2(x^2 + 2x) + 1 = 2((x+1)^2 - 1) + 1 = 2(x+1)^2 - 2 + 1 = 2(x+1)^2 - 1$ となります。

(4) $-3x^2 - 6x + 4$

* まず、$x^2$ の係数である-3で全体をくくります。

$-3(x^2 + 2x) + 4$

* 括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分は1なので、$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ となります。

* $-3(x^2 + 2x) + 4 = -3((x+1)^2 - 1) + 4 = -3(x+1)^2 + 3 + 4 = -3(x+1)^2 + 7$ となります。

(5) $x^2 - x + 2$

* $x$ の係数の半分を考えます。この場合、-1の半分は $-\frac{1}{2}$ です。

* $(x-\frac{1}{2})^2$ を展開すると $x^2 - x + \frac{1}{4}$ となります。

* したがって、$x^2 - x + 2 = (x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 2 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$ となります。

(6) $-2x^2 + 10x$

* まず、$x^2$ の係数である-2で全体をくくります。

$-2(x^2 - 5x)$

* 括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分は $-\frac{5}{2}$ なので、$(x-\frac{5}{2})^2 = x^2 - 5x + \frac{25}{4}$ となります。

* $-2(x^2 - 5x) = -2((x-\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}) = -2(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)^2 - 1$

(2) $(x-2)^2 + 2$

(3) $2(x+1)^2 - 1$

(4) $-3(x+1)^2 + 7$

(5) $(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$

(6) $-2(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2}$