(1) 数列 $\{a_n\}$ の和 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ が $S_n = n^2 - n + 1$ $(n \geq 1)$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。 (2) $S_n$ と $a_{n+1}$ が $S_n = 2a_{n+1} + n$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 数列 $\{a_n\}$ の和 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ が $S_n = n^2 - n + 1$ $(n \geq 1)$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。

(2) $S_n$ と $a_{n+1}$ が $S_n = 2a_{n+1} + n$ を満たすとき、$a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$S_n = n^2 - n + 1$

$n \geq 2$ のとき、 $a_n = S_n - S_{n-1}$ であるから、

$a_n = (n^2 - n + 1) - ((n-1)^2 - (n-1) + 1)$

$a_n = (n^2 - n + 1) - (n^2 - 2n + 1 - n + 1 + 1)$

$a_n = n^2 - n + 1 - n^2 + 3n - 3$

$a_n = 2n - 2$

$n=1$ のとき、 $S_1 = a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2 \cdot 1 - 2 = 0$ となるので、 $a_1$ の値が一致しない。

したがって、$a_1 = 1$ であり、$n \geq 2$ のとき $a_n = 2n - 2$ である。

(2)

$S_n = 2a_{n+1} + n$

$S_{n+1} = 2a_{n+2} + (n+1)$

$S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$ であるから、

$2a_{n+2} + n + 1 - (2a_{n+1} + n) = a_{n+1}$

$2a_{n+2} + n + 1 - 2a_{n+1} - n = a_{n+1}$

$2a_{n+2} = 3a_{n+1} - 1$

$a_{n+2} = \frac{3}{2}a_{n+1} - \frac{1}{2}$

$a_{n+2} - 1 = \frac{3}{2}(a_{n+1} - 1)$

$b_n = a_n - 1$ とおくと、 $b_{n+2} = \frac{3}{2} b_{n+1}$

これは等比数列である。

$a_1$ がわからないので、$S_1 = a_1 = 2a_2 + 1$ より、 $a_2 = \frac{a_1 - 1}{2}$

$a_3 = \frac{3}{2} a_2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} (\frac{a_1 - 1}{2}) - \frac{1}{2} = \frac{3a_1 - 3 - 2}{4} = \frac{3a_1 - 5}{4}$

$a_n - 1 = (a_2 - 1) (\frac{3}{2})^{n-2}$

$a_n = (\frac{a_1 - 1}{2} - 1)(\frac{3}{2})^{n-2} + 1 = (\frac{a_1 - 3}{2})(\frac{3}{2})^{n-2} + 1$

$S_1 = a_1 = 2a_2 + 1$より、$2a_2 = a_1 - 1$, $a_2 = (a_1 - 1)/2$

$S_2 = a_1 + a_2 = 2a_3 + 2$より、$a_1 + (a_1 - 1)/2 = 2a_3 + 2$

$(3a_1 - 1)/2 = 2a_3 + 2$

$3a_1 - 1 = 4a_3 + 4$

$3a_1 - 5 = 4a_3$

$a_3 = (3a_1 - 5)/4$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 1$, $a_n = 2n-2$ $(n \geq 2)$

(2) $a_n = (\frac{a_1 - 3}{2}) (\frac{3}{2})^{n-2} + 1$