数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ であり、$S_n = n^2 - n + 1$ (ただし $n \geq 1$) のとき、$a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ であり、$S_n = n^2 - n + 1$ (ただし $n \geq 1$) のとき、$a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$a_n$ を求めるには、$S_n$ と $S_{n-1}$ の関係を利用します。

まず、$a_1$ を求めます。$a_1 = S_1$ であるので、

$a_1 = S_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

$S_n = n^2 - n + 1$ であり、

$S_{n-1} = (n-1)^2 - (n-1) + 1 = (n^2 - 2n + 1) - (n - 1) + 1 = n^2 - 3n + 3$

したがって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - n + 1) - (n^2 - 3n + 3) = n^2 - n + 1 - n^2 + 3n - 3 = 2n - 2$

これは $n \geq 2$ のときのみ成り立つ式です。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2(1) - 2 = 0$ となりますが、すでに $a_1 = 1$ であることがわかっています。

したがって、$a_1 = 1$ で、$n \geq 2$ のとき、$a_n = 2n - 2$ です。

この二つの場合をまとめて書くことは難しいので、別々に答えます。

3. 最終的な答え

$a_1 = 1$

$a_n = 2n - 2$ ($n \geq 2$)