$0 \le \theta \le \pi$ とする。2次方程式 $x^2 - 2(\sin\theta + \cos\theta)x - \sqrt{3}\cos2\theta = 0$ について、以下の問いに答えよ。 (1) この方程式の判別式 $D$ を $\sin2\theta$, $\cos2\theta$ を用いて表せ。 (2) この方程式が実数解をもつとき、定数 $\theta$ の値の範囲を求めよ。 (3) この方程式の解がすべて正の実数であるとき、定数 $\theta$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ とする。2次方程式 $x^2 - 2(\sin\theta + \cos\theta)x - \sqrt{3}\cos2\theta = 0$ について、以下の問いに答えよ。

(1) この方程式の判別式 $D$ を $\sin2\theta$, $\cos2\theta$ を用いて表せ。

(2) この方程式が実数解をもつとき、定数 $\theta$ の値の範囲を求めよ。

(3) この方程式の解がすべて正の実数であるとき、定数 $\theta$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 判別式 $D$ を計算する。

$D = (-2(\sin\theta + \cos\theta))^2 - 4(1)(-\sqrt{3}\cos2\theta)$

$D = 4(\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) + 4\sqrt{3}\cos2\theta$

$D = 4(1 + 2\sin\theta\cos\theta) + 4\sqrt{3}\cos2\theta$

$D = 4(1 + \sin2\theta) + 4\sqrt{3}\cos2\theta$

$D = 4 + 4\sin2\theta + 4\sqrt{3}\cos2\theta$

$D = 4(1 + \sin2\theta + \sqrt{3}\cos2\theta)$

(2) 実数解を持つ条件は $D \ge 0$。

$1 + \sin2\theta + \sqrt{3}\cos2\theta \ge 0$

$\sin2\theta + \sqrt{3}\cos2\theta \ge -1$

$2(\frac{1}{2}\sin2\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos2\theta) \ge -1$

$2(\cos\frac{\pi}{3}\sin2\theta + \sin\frac{\pi}{3}\cos2\theta) \ge -1$

$2\sin(2\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -1$

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ より $\frac{\pi}{3} \le 2\theta + \frac{\pi}{3} \le 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$

$\sin x \ge -\frac{1}{2}$ となる $x$ の範囲は $-\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{7\pi}{6}$ である。

$\frac{\pi}{3} \le 2\theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{3}$

$0 \le 2\theta \le \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{9\pi}{6} \le 2\theta \le \frac{13\pi}{3}$

$0 \le \theta \le \frac{5\pi}{12}$ または $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le 2\pi - \frac{\pi}{6}$

よって，$0 \le \theta \le \frac{5\pi}{12}$ または $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \pi$

(3) 2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解が正であるためには、$\alpha+\beta > 0$ かつ $\alpha\beta > 0$ が必要。

$\alpha+\beta = 2(\sin\theta + \cos\theta) > 0$

$\sin\theta + \cos\theta > 0$

$\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) > 0$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) > 0$

$0 \le \theta \le \pi$ より $\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

$0 < \theta + \frac{\pi}{4} < \pi$ より $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$

よって $0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}$

$\alpha\beta = -\sqrt{3}\cos2\theta > 0$

$\cos2\theta < 0$

$\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{3\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$

これらの条件を満たす$\theta$の範囲は、$\frac{\pi}{4} < \theta \le \frac{5\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $D = 4(1 + \sin2\theta + \sqrt{3}\cos2\theta)$

(2) $0 \le \theta \le \frac{5\pi}{12}$, $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \pi$

(3) $\frac{\pi}{4} < \theta \le \frac{5\pi}{12}$