数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_n = 2a_n + n$を満たすとき、$a_n$を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_n = 2a_n + n$を満たすとき、$a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n \ge 2$のときを考えます。

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$であり、$S_{n-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}$です。

したがって、$S_n - S_{n-1} = a_n$が成り立ちます。

問題文より、$S_n = 2a_n + n$であるから、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2a_n + n) - (2a_{n-1} + (n-1))$

$a_n = 2a_n + n - 2a_{n-1} - n + 1$

$0 = a_n - 2a_{n-1} + 1$

$a_n = 2a_{n-1} - 1$ (for $n \ge 2$)

また、$S_1 = a_1$なので、$S_1 = 2a_1 + 1$より、$a_1 = 2a_1 + 1$となり、$a_1 = -1$です。

次に、漸化式$a_n = 2a_{n-1} - 1$を変形します。

$a_n - 1 = 2(a_{n-1} - 1) + 2 - 1 = 2(a_{n-1} - 1) + 1$

$a_n - 1= 2(a_{n-1} - 1) - 1 + 1$ とすると、

$a_n - 1 = 2(a_{n-1} - 1)$.

$b_n = a_n - 1$とおくと、$b_n = 2b_{n-1}$。

これは、$b_n$が公比2の等比数列であることを意味します。

$b_1 = a_1 - 1 = -1 - 1 = -2$.

したがって、$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$.

$a_n = b_n + 1$より、$a_n = -2^n + 1$.

最後に、$n=1$の場合にこの式が成り立つか確認します。

$a_1 = -2^1 + 1 = -2 + 1 = -1$.

これは、$a_1 = -1$と一致するので、$n=1$の場合も成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 1 - 2^n$