$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$を計算する。

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解いていきます。

**問題1.**

次の式を計算しなさい。

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

(2) $2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} + \frac{12}{\sqrt{6}}$

(3) $\frac{6\sqrt{3}}{5} \times \frac{10}{9\sqrt{2}} \times \frac{3}{\sqrt{2}}$

(4) $\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{45}{\sqrt{40}}$

**問題2.**

次の式の分母を有理化しなさい。

(1) $\frac{48\sqrt{2}}{\sqrt{108}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

**問題3.**

口にあてはまる整数で、アは最大、イは最小の整数を求めなさい。

ア < $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ < イ

**問題4.**

$y = |x-1| + |x-3|$ の最小値を求めなさい。

---

**問題1 (1) の解答**

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$を計算する。

2. 解き方の手順

まず、各項を有理化し、整理します。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ はそのまま。

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

したがって、

$\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{2\sqrt{6}}{3} - \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

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**問題1 (2) の解答**

1. 問題の内容

$2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} + \frac{12}{\sqrt{6}}$を計算する。

2. 解き方の手順

まず、各項を計算し、整理します。

$2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{6}$

$\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

したがって、

$6\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{6}$

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**問題1 (3) の解答**

1. 問題の内容

$\frac{6\sqrt{3}}{5} \times \frac{10}{9\sqrt{2}} \times \frac{3}{\sqrt{2}}$を計算する。

2. 解き方の手順

$\frac{6\sqrt{3}}{5} \times \frac{10}{9\sqrt{2}} \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6 \times 10 \times 3 \times \sqrt{3}}{5 \times 9 \times 2} = \frac{180\sqrt{3}}{90} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}$

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**問題1 (4) の解答**

1. 問題の内容

$\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{45}{\sqrt{40}}$を計算する。

2. 解き方の手順

$\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{10}}{2}$

$\frac{45}{\sqrt{40}} = \frac{45}{2\sqrt{10}} = \frac{45\sqrt{10}}{20} = \frac{9\sqrt{10}}{4}$

$\frac{5\sqrt{10}}{2} + \frac{9\sqrt{10}}{4} = \frac{10\sqrt{10}}{4} + \frac{9\sqrt{10}}{4} = \frac{19\sqrt{10}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{19\sqrt{10}}{4}$

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**問題2 (1) の解答**

1. 問題の内容

$\frac{48\sqrt{2}}{\sqrt{108}}$の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$

$\frac{48\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8\sqrt{6}}{3}$

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**問題2 (2) の解答**

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2+\sqrt{3}$

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**問題3 の解答**

1. 問題の内容

ア < $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ < イ を満たす最大の整数アと最小の整数イを求める。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$

したがって、$4 < \sqrt{5}+2 < 5$

アは最大の整数なのでア=4

イは最小の整数なのでイ=5

3. 最終的な答え

ア=4、イ=5

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**問題4 の解答**

1. 問題の内容

$y = |x-1| + |x-3|$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

$x < 1$のとき $y = -(x-1) - (x-3) = -2x + 4$

$1 \le x \le 3$のとき $y = (x-1) - (x-3) = 2$

$x > 3$のとき $y = (x-1) + (x-3) = 2x - 4$

$1 \le x \le 3$のとき、$y=2$となり、これが最小値となる。

3. 最終的な答え

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