(1) 関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 3$) の最大値が8であるとき、$a$ の値を求める。 (2) 関数 $y = -x^2 + 8x + a$ ($1 \le x \le 3$) の最小値が1であるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 2x^2 - 4x + a$ ($0 \le x \le 3$) の最大値が8であるとき、$a$ の値を求める。

(2) 関数 $y = -x^2 + 8x + a$ ($1 \le x \le 3$) の最小値が1であるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + a = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + a = 2(x-1)^2 - 2 + a$

このグラフは下に凸な放物線で、頂点は $(1, -2+a)$ です。

定義域は $0 \le x \le 3$ です。

軸 $x=1$ は定義域に含まれているので、頂点で最小値をとり、最大値は $x=3$ でとります。

$x=3$ のとき $y = 2(3-1)^2 - 2 + a = 2(4) - 2 + a = 8 - 2 + a = 6 + a$

これが最大値なので、$6+a = 8$ となり、$a=2$ となります。

(2)

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 8x) + a = -(x^2 - 8x + 16 - 16) + a = -(x-4)^2 + 16 + a$

このグラフは上に凸な放物線で、頂点は $(4, 16+a)$ です。

定義域は $1 \le x \le 3$ です。

軸 $x=4$ は定義域に含まれていません。

$x=1$ のとき $y = -(1-4)^2 + 16 + a = -9 + 16 + a = 7 + a$

$x=3$ のとき $y = -(3-4)^2 + 16 + a = -1 + 16 + a = 15 + a$

上に凸のグラフなので、$x=1$ において最大値をとり、$x=3$ において最小値をとります。

したがって、$15+a = 1$ となり、$a = -14$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) $a = -14$