与えられた分数式を既約分数式に直す問題です。具体的には、以下の4つの分数式をそれぞれ簡約化します。 (1) $\frac{15ab^7}{10(a^2b^2)^2}$ (2) $\frac{(6x^2y)^2}{4x^2y^3}$ (3) $\frac{x^2+4x+4}{x^3+3x^2-4}$ (4) $\frac{x^4+2x^3-x^2-2x}{(x^3-x)^2}$

1. 問題の内容

与えられた分数式を既約分数式に直す問題です。具体的には、以下の4つの分数式をそれぞれ簡約化します。

(1) $\frac{15ab^7}{10(a^2b^2)^2}$

(2) $\frac{(6x^2y)^2}{4x^2y^3}$

(3) $\frac{x^2+4x+4}{x^3+3x^2-4}$

(4) $\frac{x^4+2x^3-x^2-2x}{(x^3-x)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{15ab^7}{10(a^2b^2)^2}$

まず、分母を展開します。

$10(a^2b^2)^2 = 10a^4b^4$

したがって、

$\frac{15ab^7}{10a^4b^4} = \frac{3b^3}{2a^3}$

(2) $\frac{(6x^2y)^2}{4x^2y^3}$

分子を展開します。

$(6x^2y)^2 = 36x^4y^2$

したがって、

$\frac{36x^4y^2}{4x^2y^3} = \frac{9x^2}{y}$

(3) $\frac{x^2+4x+4}{x^3+3x^2-4}$

まず、分子を因数分解します。

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$

次に、分母を因数分解します。$x=1$ を代入すると$1+3-4=0$ なので、$x-1$を因数に持つ。

$x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4)=(x-1)(x+2)^2$

したがって、

$\frac{(x+2)^2}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{1}{x-1}$

(4) $\frac{x^4+2x^3-x^2-2x}{(x^3-x)^2}$

まず、分子を因数分解します。

$x^4+2x^3-x^2-2x = x(x^3+2x^2-x-2) = x(x+2)(x^2-1) = x(x+2)(x-1)(x+1)$

次に、分母を因数分解します。

$(x^3-x)^2 = (x(x^2-1))^2 = x^2(x-1)^2(x+1)^2$

したがって、

$\frac{x(x+2)(x-1)(x+1)}{x^2(x-1)^2(x+1)^2} = \frac{x+2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x+2}{x(x^2-1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3b^3}{2a^3}$

(2) $\frac{9x^2}{y}$

(3) $\frac{1}{x-1}$

(4) $\frac{x+2}{x(x^2-1)}$