2次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とします。 (1) $k$ を $m$ の式で表しなさい。 (2) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とします。

(1) $k$ を $m$ の式で表しなさい。

(2) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた2次関数を平方完成し、最小値を求めます。

$y = x^2 + 2mx + 3m$

$y = (x^2 + 2mx + m^2) - m^2 + 3m$

$y = (x + m)^2 - m^2 + 3m$

この2次関数の頂点は $(-m, -m^2 + 3m)$ です。

したがって、最小値 $k$ は $-m^2 + 3m$ となります。

(2) (1)で求めた $k$ を $m$ の2次関数と見て、最大値を求めます。

$k = -m^2 + 3m$

$k = -(m^2 - 3m)$

$k = -(m^2 - 3m + (3/2)^2 - (3/2)^2)$

$k = -(m - 3/2)^2 + (3/2)^2$

$k = -(m - 3/2)^2 + 9/4$

この式から、$k$ は $m = 3/2$ のとき最大値 $9/4$ を取ることがわかります。

3. 最終的な答え

(1) $k = -m^2 + 3m$

(2) $m = \frac{3}{2}$ のとき、 $k$ の最大値は $\frac{9}{4}$