ある地区の運動会で綱引きが行われることになった。1チームあたりの人数は大人と子ども合わせて30人である。子どもの割合は40%以上、かつ子どもの人数は大人の人数の1.5倍以下とする。このとき、大人と子どもの人数の組み合わせは何通りあるか。

1. 問題の内容

ある地区の運動会で綱引きが行われることになった。1チームあたりの人数は大人と子ども合わせて30人である。子どもの割合は40%以上、かつ子どもの人数は大人の人数の1.5倍以下とする。このとき、大人と子どもの人数の組み合わせは何通りあるか。

2. 解き方の手順

大人の人数を $x$ 、子どもの人数を $y$ とします。

全体の人数は30人なので、

$x + y = 30$

が成り立ちます。

条件アより、子どもの割合は40%以上なので、

$\frac{y}{30} \geq 0.4$

$y \geq 30 \times 0.4$

$y \geq 12$

条件イより、子どもの人数は大人の人数の1.5倍以下なので、

$y \leq 1.5x$

$x + y = 30$ より、$x = 30 - y$

これを $y \leq 1.5x$ に代入すると、

$y \leq 1.5(30 - y)$

$y \leq 45 - 1.5y$

$2.5y \leq 45$

$y \leq \frac{45}{2.5}$

$y \leq 18$

したがって、$12 \leq y \leq 18$ です。

また、$x = 30 - y$ であり、$x$ と $y$ は整数なので、

$y$ が12から18までの整数のとき、$x$ も整数となります。

$y = 12$ のとき、$x = 30 - 12 = 18$

$y = 13$ のとき、$x = 30 - 13 = 17$

$y = 14$ のとき、$x = 30 - 14 = 16$

$y = 15$ のとき、$x = 30 - 15 = 15$

$y = 16$ のとき、$x = 30 - 16 = 14$

$y = 17$ のとき、$x = 30 - 17 = 13$

$y = 18$ のとき、$x = 30 - 18 = 12$

これら全ての組み合わせで、$y \leq 1.5x$ を満たしているか確認します。

$y=12$のとき、$12 \leq 1.5 \times 18 = 27$ であり、条件を満たす。

$y=13$のとき、$13 \leq 1.5 \times 17 = 25.5$ であり、条件を満たす。

$y=14$のとき、$14 \leq 1.5 \times 16 = 24$ であり、条件を満たす。

$y=15$のとき、$15 \leq 1.5 \times 15 = 22.5$ であり、条件を満たす。

$y=16$のとき、$16 \leq 1.5 \times 14 = 21$ であり、条件を満たす。

$y=17$のとき、$17 \leq 1.5 \times 13 = 19.5$ であり、条件を満たす。

$y=18$のとき、$18 \leq 1.5 \times 12 = 18$ であり、条件を満たす。

したがって、組み合わせは7通りです。

3. 最終的な答え

7通り