与えられた式 $9b - 9 - 3ab + a^2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $9b - 9 - 3ab + a^2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理し、因数分解しやすい形に変形します。まず、定数項である $-9$ を $-3 \times 3$ と考え、平方完成の形を作れるか試します。

与式を並び替えて、

$a^2 - 3ab + 9b - 9$

次に、第一項と第二項に着目し、平方の形を作ることを目指します。

$a^2 - 3ab + \frac{9}{4}b^2 - \frac{9}{4}b^2 + 9b - 9$

$(a - \frac{3}{2}b)^2 - \frac{9}{4}b^2 + 9b - 9$

ここで、平方完成がうまくいかないことが分かります。他の方法を考えましょう。

式をよく見ると、$9b$と$9$は共通因数$9$を持つことに気づきます。したがって、$9(b-1)$と変形できます。

また、$a^2 - 3ab = a(a-3b)$と変形できます。

したがって、

$a^2 - 3ab + 9b - 9 = a(a-3b) + 9(b-1)$

となります。

この式を因数分解するのは難しそうです。与式を別の見方で整理してみましょう。

$9b-9-3ab+a^2 = a^2 - 3ab + 9b - 9$

$= a^2 + (-3b)a + (9b-9)$

これは$a$についての二次式と見ることができます。二次方程式の解の公式を使ってみましょう。

$a = \frac{-(-3b) \pm \sqrt{(-3b)^2 - 4(1)(9b-9)}}{2(1)}$

$= \frac{3b \pm \sqrt{9b^2 - 36b + 36}}{2}$

$= \frac{3b \pm \sqrt{9(b^2 - 4b + 4)}}{2}$

$= \frac{3b \pm \sqrt{9(b-2)^2}}{2}$

$= \frac{3b \pm 3(b-2)}{2}$

したがって、$a = \frac{3b + 3(b-2)}{2} = \frac{6b-6}{2} = 3b-3 = 3(b-1)$ または $a = \frac{3b - 3(b-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3$

したがって、因数分解された形は $(a-3(b-1))(a-3) = (a-3b+3)(a-3)$ となります。

3. 最終的な答え

$(a-3b+3)(a-3)$