座標空間内の3点A(0,1,3), B(1,2,4), C(2,7,3)を頂点とする三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

座標空間内の3点A(0,1,3), B(1,2,4), C(2,7,3)を頂点とする三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を計算します。

$\vec{AB} = B - A = (1-0, 2-1, 4-3) = (1, 1, 1)$

$\vec{AC} = C - A = (2-0, 7-1, 3-3) = (2, 6, 0)$

次に、これらのベクトルの外積$\vec{AB} \times \vec{AC}$を計算します。

$\vec{AB} \times \vec{AC} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot 6, 1 \cdot 2 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2) = (-6, 2, 4)$

三角形ABCの面積は、外積の大きさの半分で求められます。

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 4 + 16} = \sqrt{56}$

したがって、三角形ABCの面積は

$\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{56} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 14} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{14} = \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{14}$