1枚のコインを投げて、表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。コインを8回投げたとき、点数の合計が0点である確率と、点数の合計が5点以上である確率を求めよ。

1. 問題の内容

1枚のコインを投げて、表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。コインを8回投げたとき、点数の合計が0点である確率と、点数の合計が5点以上である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 合計が0点となる確率

8回投げて合計が0点になるということは、表が4回、裏が4回出る必要がある。8回中4回表が出る場合の数は、二項係数を用いて ${}_8 C_4$ で表せる。

${}_8 C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

8回のコイン投げで起こりうるすべての場合は $2^8 = 256$ 通りである。

したがって、合計が0点となる確率は

$\frac{{}_8 C_4}{2^8} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}$

(2) 合計が5点以上となる確率

8回のコイン投げで得られる点数は、表の回数を$x$、裏の回数を$y$とすると $x - y$ で表される。

$x + y = 8$ であるから、$y = 8 - x$ を $x - y$ に代入すると、

$x - (8 - x) = 2x - 8$

したがって、点数は $2x - 8$ と表せる。

$2x - 8 \ge 5$ となるのは、$2x \ge 13$ より $x \ge 6.5$ のときなので、表が7回以上出る場合を考える。

表が7回出る場合：${}_8 C_7 = \frac{8!}{7!1!} = 8$

表が8回出る場合：${}_8 C_8 = \frac{8!}{8!0!} = 1$

したがって、合計が5点以上となる場合の数は $8 + 1 = 9$ 通りである。

よって、合計が5点以上となる確率は

$\frac{9}{2^8} = \frac{9}{256}$

3. 最終的な答え

合計が0点である確率は $\frac{35}{128}$

合計が5点以上である確率は $\frac{9}{256}$