袋の中に白球 $n$ 個、赤球 $n$ 個、青球 $n$ 個、黒球 1個の合計 $3n+1$ 個の球が入っています。取り出した球は袋に戻さないとして、以下の確率を求めます。 (1) 3回目に取り出した球が黒球である確率 (2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球は取り出されていない確率 (3) 黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球のいずれも少なくとも1つずつは取り出されている確率

1. 問題の内容

袋の中に白球 $n$ 個、赤球 $n$ 個、青球 $n$ 個、黒球 1個の合計 $3n+1$ 個の球が入っています。取り出した球は袋に戻さないとして、以下の確率を求めます。

(1) 3回目に取り出した球が黒球である確率

(2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球は取り出されていない確率

(3) 黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球のいずれも少なくとも1つずつは取り出されている確率

2. 解き方の手順

(1) 3回目に取り出した球が黒球である確率

3回目に取り出した球が黒球であるためには、1回目、2回目、3回目に黒球が取り出される確率を考えます。3回目に取り出した球が黒球である事象は、

(i) 1回目、2回目に黒球以外が出て、3回目に黒球が出る

に分けられます。

全事象は $3n+1$ 個から3個を取り出す順列なので、

$(3n+1)(3n)(3n-1)$通りあります。

3回目に黒球が出るのは、黒球が1つしかないので、1回目、2回目に黒球以外の球が出る必要があります。

1回目、2回目に黒球以外の球が出る確率は$\frac{3n}{3n+1} \times \frac{3n-1}{3n}$です。

3回目に黒球が出る確率は $\frac{1}{3n-1}$です。

したがって、

$P(\text{3回目に黒球}) = \frac{3n}{3n+1} \times \frac{3n-1}{3n} \times \frac{1}{3n-1} = \frac{1}{3n+1}$

(2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球は取り出されていない確率

これは、黒球を取り出すまでに白球か黒球のみが取り出されている確率です。

黒球を$k$回目に取り出すとします。

$k$回目までに取り出す球は$k$個で、そのうち黒球は1個です。

残りの$k-1$個は白球から選ばれます。

$k-1$個の白球を選ぶ組み合わせは $_nC_{k-1}$通りです。

$k$の範囲は、$1 \le k \le n+1$です。

全事象は、$3n+1$個から$k$個を取り出す順列なので、$(3n+1)(3n)(3n-1)\cdots(3n-k+2)$通りあります。

k回目の黒球を取り出す場合は$k$通りあります。

黒球を取り出すまでに赤球と青球が取り出されていない確率は、

$\frac{n(n-1) \cdots (n-k+2)}{(3n)(3n-1)\cdots(3n-k+2)} = \frac{n!}{(n-k+1)!} / \frac{(3n)!}{(3n-k+1)!} = \frac{n!(3n-k+1)!}{(n-k+1)!(3n)!}$

$1 \le k \le n+1$

黒球を取り出す順番はどれも同様に確からしいので、$\frac{1}{3n+1}$となります。

(3) 黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球のいずれも少なくとも1つずつは取り出されている確率

これは、黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球が取り出されている確率です。

全体から、少なくとも一つの色の球が取り出されていない場合を除きます。

黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球が取り出されていない確率はそれぞれ計算できます。

この余事象を考えます。

P(白球が取り出されていない) + P(赤球が取り出されていない) + P(青球が取り出されていない)

- P(白球と赤球が取り出されていない) - P(白球と青球が取り出されていない) - P(赤球と青球が取り出されていない)

+ P(白球と赤球と青球が取り出されていない)

これを全体から引きます。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3n+1}$

(2) $\frac{n+1}{3n+1}$

(3) $1-\frac{3(2n+1)}{3n+1} + \frac{3(n+1)}{3n+1} - \frac{1}{3n+1} = \frac{3n+1-6n-3+3n+3-1}{3n+1} = 0$