問題文より、$X$は正規分布に従い、 $z = \frac{X - \text{ウエオ}}{\text{チケ} \sqrt{\text{ツ2}}}$ とおくと、$z$は標準正規分布に従う。$X = 100$となる確率と$X = 105$となる確率を、連続性の補正を用いて計算し、選択肢から最も適切なものを選ぶ。ただし、$X$の平均は100, 標準偏差は5である。

1. 問題の内容

問題文より、$X$は正規分布に従い、

$z = \frac{X - \text{ウエオ}}{\text{チケ} \sqrt{\text{ツ2}}}$

とおくと、$z$は標準正規分布に従う。$X = 100$となる確率と$X = 105$となる確率を、連続性の補正を用いて計算し、選択肢から最も適切なものを選ぶ。ただし、$X$の平均は100, 標準偏差は5である。

2. 解き方の手順

まず、$z$の式を完成させる。$X$は正規分布に従い、平均が100、標準偏差が5であることから、

$z = \frac{X - 100}{5}$

とおくと、$z$は標準正規分布に従う。したがって、ウエオ=100、チケ=5、ツ2=1。

次に、$X = 100$となる確率を計算する。連続性の補正より、$99.5 \le X \le 100.5$となる確率を求める。

$z = \frac{X - 100}{5}$に$X = 99.5$と$X = 100.5$を代入すると、

$z_1 = \frac{99.5 - 100}{5} = -0.1$

$z_2 = \frac{100.5 - 100}{5} = 0.1$

したがって、$P(99.5 \le X \le 100.5) = P(-0.1 \le z \le 0.1)$である。標準正規分布表は与えられていないので、近似的に計算することになる。選択肢から近い値を選ぶ。ここでは、$z$が0.1のときの確率密度関数を近似的に求め、区間幅を掛けることで確率を推定する。

$P(-0.1 \le z \le 0.1) = 2 \times P(0 \le z \le 0.1)$

標準正規分布表が与えられていないので、$P(X=100)$となる確率は、$z$が0.1付近の確率密度関数の値を用いて近似することになる。

正規分布表がないので、選択肢からそれらしいものを選ぶことしかできない。

次に、$X = 105$となる確率を計算する。連続性の補正より、$104.5 \le X \le 105.5$となる確率を求める。

$z = \frac{X - 100}{5}$に$X = 104.5$と$X = 105.5$を代入すると、

$z_1 = \frac{104.5 - 100}{5} = 0.9$

$z_2 = \frac{105.5 - 100}{5} = 1.1$

したがって、$P(104.5 \le X \le 105.5) = P(0.9 \le z \le 1.1)$である。標準正規分布表は与えられていないので、近似的に計算することになる。選択肢から近い値を選ぶ。

標準正規分布表がない状況では、選択肢から選ぶしかない。正規分布の形状を考えると、$X=100$付近の値が出やすく、$X=105$付近の値が出にくい。選択肢の中では、0.033, 0.036, 0.043あたりが$X=105$の確率ではないかと推測できる。

問題文の続きに正規分布表があると書いてあるので、それを使うとより正確な値が出るはず。ここでは正規分布表がないので、近似で答えざるを得ない。

$P(-0.1 \le z \le 0.1)$の確率は、選択肢の中で比較的小さい数値になるはずなので、0.066よりは小さい。

$P(0.9 \le z \le 1.1)$は、$P(-0.1 \le z \le 0.1)$より小さいと考えられる。

$X=100$の確率：0.053 (4)

$X=105$の確率：0.036 (1)

3. 最終的な答え

テ：④

ト：①