大きいサイコロと小さいサイコロを同時に1回投げる。大きいサイコロの出た目を$a$、小さいサイコロの出た目を$b$とする。点Aの座標は$(a, a+1)$、点Bの座標は$(7-b, b)$、点Cの座標は$(a, b)$である。線分ACの長さが1cmとなる確率を求めよ。また、三角形OBCの面積が2cm$^2$となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

大きいサイコロと小さいサイコロを同時に1回投げる。大きいサイコロの出た目を$a$、小さいサイコロの出た目を$b$とする。点Aの座標は$(a, a+1)$、点Bの座標は$(7-b, b)$、点Cの座標は$(a, b)$である。線分ACの長さが1cmとなる確率を求めよ。また、三角形OBCの面積が2cm$^2$となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

問題8：

線分ACの長さが1cmとなるのは、点Aと点Cのy座標の差が1であるときである。

Aのy座標は$a+1$、Cのy座標は$b$なので、$|a+1 - b| = 1$を満たす必要がある。

つまり、$a+1 - b = 1$または$a+1 - b = -1$である。

これを整理すると、$b = a$または$b = a+2$となる。

$a$と$b$はそれぞれ1から6までの整数である。

$b = a$の場合、$(a, b)$の組み合わせは(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)の6通り。

$b = a+2$の場合、$(a, b)$の組み合わせは(1,3), (2,4), (3,5), (4,6)の4通り。

したがって、線分ACの長さが1cmとなる組み合わせは、6+4 = 10通り。

サイコロの目の出方は$6 \times 6 = 36$通りなので、確率は$\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$。

問題9：

三角形OBCの面積が2cm$^2$となるのは、$\frac{1}{2} |(7-b) \times b - 0 \times b| = 2$となる場合である。

つまり、$\frac{1}{2} |(7-b)b| = 2$なので、$|(7-b)b| = 4$、つまり$(7-b)b = 4$または$(7-b)b = -4$となる。

まず$(7-b)b = 4$の場合、$7b - b^2 = 4$より$b^2 - 7b + 4 = 0$。この解は$b = \frac{7 \pm \sqrt{49-16}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}$となり、これは整数ではないので不適。

次に$(7-b)b = -4$の場合、$7b - b^2 = -4$より$b^2 - 7b - 4 = 0$。この解は$b = \frac{7 \pm \sqrt{49+16}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{65}}{2}$となり、これも整数ではないので不適。

問題文に面積が2cm^2となるとあるので、正しくは$\frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B| = 2$である。

これは$\frac{1}{2}|(7-b)b - a(b)| = 2$

つまり $|7b - b^2 - ab| = 4$である。

$7b - b^2 - ab = 4$ または $7b - b^2 - ab = -4$

$b(7-b-a) = 4$ または $b(7-b-a) = -4$

$b$は1から6の整数であるため，$b$が1,2,4のときだけ考えれば良い。

$b=1$のとき、$7-1-a = 4$つまり$a = 2$, $7-1-a = -4$つまり$a = 10$（不適）よって$(a,b) = (2,1)$

$b=2$のとき、$7-2-a = 2$つまり$a = 3$, $7-2-a = -2$つまり$a = 7$（不適）よって$(a,b) = (3,2)$

$b=4$のとき、$7-4-a = 1$つまり$a = 2$, $7-4-a = -1$つまり$a = 4$ よって$(a,b) = (2,4), (4,4)$

したがって、$(a,b)=(2,1), (3,2), (2,4), (4,4)$の４通り。

確率は$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

3. 最終的な答え

問題8：線分ACの長さが1cmとなる確率は $\frac{5}{18}$

問題9：三角形OBCの面積が2cm$^2$となる確率は $\frac{1}{9}$