男子3人と女子5人の中から4人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるかを求める問題です。 (1) 男子2人と女子2人を選ぶ。 (2) 男子が少なくとも1人含まれるように選ぶ。 (3) 特定のA,Bについて、Aは選ばれるが、Bは選ばれない。

1. 問題の内容

男子3人と女子5人の中から4人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるかを求める問題です。

(1) 男子2人と女子2人を選ぶ。

(2) 男子が少なくとも1人含まれるように選ぶ。

(3) 特定のA,Bについて、Aは選ばれるが、Bは選ばれない。

2. 解き方の手順

(1) 男子2人と女子2人を選ぶ場合

まず、3人の男子から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_3C_2$ で表され、

$$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$$

次に、5人の女子から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_5C_2$ で表され、

$$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$$

したがって、男子2人と女子2人を選ぶ組み合わせの総数は、$_3C_2$ と $_5C_2$ の積で求められます。

$3 \times 10 = 30$ 通り

(2) 男子が少なくとも1人含まれるように選ぶ場合

まず、8人から4人を選ぶ全ての組み合わせを計算します。これは $_8C_4$ で表され、

$$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$$

次に、男子が1人も含まれない（つまり女子だけ4人選ぶ）組み合わせを計算します。これは $_5C_4$ で表され、

$$_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = 5$$

したがって、男子が少なくとも1人含まれる組み合わせの数は、$_8C_4$ から $_5C_4$ を引いたものです。

$70 - 5 = 65$ 通り

(3) 特定のA,Bについて、Aは選ばれるが、Bは選ばれない場合

Aが選ばれるので、残りの3人は、A以外の7人から選びます。

しかし、Bは選ばれないので、Bを除いた6人から3人を選ぶことになります。

したがって、$_6C_3$ で求められます。

$$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$$

したがって、Aは選ばれるがBは選ばれないような選び方は20通りです。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 65通り

(3) 20通り