(1) 大小2つのサイコロを同時に投げたときの出目をそれぞれ$a, b$とする。 * 2桁の整数$10a + b$が5の倍数になる場合の数を求める。 * $a + 2b < 10$となる確率を求める。 (2) 碁石と竹ひごを使って正六角形を横一列につなげた形を作る。 * 正六角形を5個つなげた形を作るときに使う碁石の個数を求める。 * 正六角形を$n$個つなげた形を作るときに使う碁石の個数を$a$個、竹ひごの本数を$b$本とする。このとき、$a+b$を$n$を使った式で表し、$a, b$をそれぞれ$n$を使った式で表し、それが常に成り立つ理由を説明する。

1. 問題の内容

(1) 大小2つのサイコロを同時に投げたときの出目をそれぞれ$a, b$とする。

* 2桁の整数$10a + b$が5の倍数になる場合の数を求める。

* $a + 2b < 10$となる確率を求める。

(2) 碁石と竹ひごを使って正六角形を横一列につなげた形を作る。

* 正六角形を5個つなげた形を作るときに使う碁石の個数を求める。

* 正六角形を$n$個つなげた形を作るときに使う碁石の個数を$a$個、竹ひごの本数を$b$本とする。このとき、$a+b$を$n$を使った式で表し、$a, b$をそれぞれ$n$を使った式で表し、それが常に成り立つ理由を説明する。

2. 解き方の手順

(1) ① 2桁の整数$10a + b$が5の倍数となるのは、一の位$b$が0または5のとき。$b$はサイコロの出目なので0になることはない。よって$b = 5$のときのみを考えればよい。

$a$は1から6までの値を取れるので、$10a + 5$が5の倍数になるのは$a$が1から6のいずれの値でも成り立つ。

したがって、$a$の取りうる値は6通り。

② $a + 2b < 10$となる確率を求める。$a, b$はそれぞれ1から6までの整数である。

$a + 2b < 10$を変形すると、$a < 10 - 2b$。

$b$の値を1から順に代入して$a$の取りうる値を考える。

* $b = 1$のとき、$a < 10 - 2(1) = 8$。$a$は1から6までの値を取れるので、6通り。

* $b = 2$のとき、$a < 10 - 2(2) = 6$。$a$は1から5までの値を取れるので、5通り。

* $b = 3$のとき、$a < 10 - 2(3) = 4$。$a$は1から3までの値を取れるので、3通り。

* $b = 4$のとき、$a < 10 - 2(4) = 2$。$a$は1までの値を取れるので、1通り。

* $b = 5$のとき、$a < 10 - 2(5) = 0$。$a$は取りうる値がないので、0通り。

* $b = 6$のとき、$a < 10 - 2(6) = -2$。$a$は取りうる値がないので、0通り。

よって、$a + 2b < 10$となるのは$6 + 5 + 3 + 1 = 15$通り。

大小2つのサイコロの出目の組み合わせは$6 \times 6 = 36$通りなので、求める確率は$\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$。

(2) ① 正六角形を5個つなげた形を作るとき、最初の正六角形に6個の碁石が必要で、その後は正六角形を追加するごとに1個ずつ碁石が減るので、碁石の個数は$6 + 4 \times 1 = 11$個。

5個の正六角形をつなげるので碁石の数は $5 + 6 = 11$ 個。

② 正六角形を$n$個つなげた形を作るとき、碁石の個数は$a = n + 5$個。

竹ひごの本数は、$6 + 5(n-1) = 5n+1$ 本。したがって、$b = 5n+1$

よって、$a + b = (n+5) + (5n+1) = 6n + 6$

碁石の数について、最初の正六角形を作るのに6個の碁石を使い、それ以降は正六角形を1つ追加するたびに1個の碁石を追加すれば良いので、$a = 6 + (n-1) = n + 5$。

竹ひごの数について、最初の正六角形を作るのに6本の竹ひごを使い、それ以降は正六角形を1つ追加するたびに5本の竹ひごを追加すれば良いので、$b = 6 + 5(n-1) = 5n + 1$。

3. 最終的な答え

(1) ① 6通り

　　② $\frac{5}{12}$

(2) ① 11個

　　② $a+b = 6n+6$, $a=n+5$, $b=5n+1$

理由：最初の正六角形を作るのに碁石は6個必要で、以降は1個ずつ増える。竹ひごは最初に6本必要で、以降は5本ずつ増えるから。