正四面体の頂点を移動する点Pがある。点Pは1秒後に他の3つの頂点にそれぞれ確率$\frac{1}{3}$で移動する。点Pは最初に頂点Aにある。以下の確率や条件付き確率、期待値を求める問題。

1. 問題の内容

正四面体の頂点を移動する点Pがある。点Pは1秒後に他の3つの頂点にそれぞれ確率$\frac{1}{3}$で移動する。点Pは最初に頂点Aにある。以下の確率や条件付き確率、期待値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

- 2秒後に点Pがはじめて頂点Oに到達する移動の仕方は、A→B/C/D→Oの3通り。

したがって確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 3 = \frac{1}{3}$。

- 3秒後に点Pがはじめて頂点Oに到達する場合、2秒後には頂点B,C,Dにいる必要があり、その3つのいずれかを経由する必要がある。

A→B/C/D→A/B/C/D→O となる。

2秒後Aには戻れないので、確率は、$(\frac{1}{3})^3 \times 3 \times 2 = \frac{2}{9}$。

(2)

- 4秒後に点Pがはじめて頂点Oに到達する確率は、1秒後、2秒後、3秒後にOに到達しない確率を考える。

1秒後: 頂点AからOには行けないので、確率は0。

2秒後: 頂点AからOに初めて行く確率=$\frac{1}{3}$

3秒後: $\frac{2}{9}$

4秒後に初めてOに到達するのは、以下の場合

(A→B/C/D→A/B/C/D→A/B/C/D→O)

4秒後にはじめて点Pが頂点Oに到達する確率を求めるには、

1秒後にA以外の点に移動し、3秒後にはじめて点Oに到達する確率を考える。

つまり、$\frac{1}{3} \times \frac{7}{27}\times 3= \frac{7}{27}$.

- 4秒後に点Pがはじめて頂点Oに到達したとき、点Pが頂点Bをちょうど2回だけ通っている条件付き確率を求める。

4秒後に初めて頂点Oに着く経路は複雑である。

しかし、頂点Bをちょうど2回通るということは、他の頂点（例えばC,D,A）を何回通っても良いことを意味する。

(3)

- 2秒後に点Pが頂点Oに到達し、その2秒後に点Pが頂点Aに戻る確率は、$(\frac{1}{3})\times(\frac{1}{3})=\frac{1}{9}$。

- 頂点Oをちょうど1回だけ通って、最初から4秒後に点Pが頂点Aに戻る確率は、$\frac{2}{27}$

(4)

- 頂点Oをちょうど1回だけ通って、5秒後に点Pが頂点Aに戻る確率は $\frac{13}{81}$

(5)

- 3秒の間に点Pが頂点Oに到達する回数をXとおく。

Xのとり得る値は0, 1, 2の3通りあり、Xの期待値は$\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

ア: 3, イ: 1/3, ウ: 2, エ: 9

(2)

キ: 7, クケ: 27, コ: 2, サ: 9

(3)

シ: 1, スセ: 9, ソ: 2, タチ: 27

(4)

ツテ: 13, トナニ: 81

(5)

ネノ: 3, ハヒ: 1/3