あるテレビ番組の視聴率を調査したい。視聴率が約0.11程度と予想されるとき、99%信頼区間の幅を0.06以下にするためには、何世帯以上を調査する必要があるか。

1. 問題の内容

あるテレビ番組の視聴率を調査したい。視聴率が約0.11程度と予想されるとき、99%信頼区間の幅を0.06以下にするためには、何世帯以上を調査する必要があるか。

2. 解き方の手順

まず、信頼区間の幅の公式を確認します。

信頼区間の幅は、以下の式で表されます。

$幅 = 2 * Z * \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

ここで、

- $Z$ は信頼水準に対応するZ値です。99%信頼区間の場合、$Z = 2.576$ となります。

- $p$ は予想される視聴率（標本比率）です。問題文より、$p = 0.11$ です。

- $n$ は調査対象の世帯数（サンプルサイズ）です。これを求めるのが目的です。

問題文より、幅は0.06以下にする必要があるため、

$2 * 2.576 * \sqrt{\frac{0.11(1-0.11)}{n}} \le 0.06$

これを $n$ について解きます。

$5.152 * \sqrt{\frac{0.0979}{n}} \le 0.06$

$\sqrt{\frac{0.0979}{n}} \le \frac{0.06}{5.152}$

$\sqrt{\frac{0.0979}{n}} \le 0.011646$

両辺を2乗します。

$\frac{0.0979}{n} \le (0.011646)^2$

$\frac{0.0979}{n} \le 0.00013562$

$n \ge \frac{0.0979}{0.00013562}$

$n \ge 721.81$

$n$ は整数である必要があるため、小数点以下を切り上げて722となります。

3. 最終的な答え

722