1個のサイコロを投げたとき、出た目の数を $a$ とし、$X = |a - 3|$ とする。このとき、確率変数 $X$ の分散と標準偏差を求める問題です。

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げたとき、出た目の数を $a$ とし、$X = |a - 3|$ とする。このとき、確率変数 $X$ の分散と標準偏差を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の取りうる値とその確率を求めます。

$a$ は 1 から 6 までの整数なので、$X$ の取りうる値は次のようになります。

* $a = 1$ のとき、$X = |1 - 3| = 2$

* $a = 2$ のとき、$X = |2 - 3| = 1$

* $a = 3$ のとき、$X = |3 - 3| = 0$

* $a = 4$ のとき、$X = |4 - 3| = 1$

* $a = 5$ のとき、$X = |5 - 3| = 2$

* $a = 6$ のとき、$X = |6 - 3| = 3$

それぞれの値を取る確率は、サイコロの目が同様に確からしいので、すべて $1/6$ です。

したがって、$X$ の確率分布は次のようになります。

* $P(X = 0) = 1/6$

* $P(X = 1) = 2/6 = 1/3$

* $P(X = 2) = 2/6 = 1/3$

* $P(X = 3) = 1/6$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。

$E(X) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} = 0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を求めます。

$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{6} + 1^2 \cdot \frac{1}{3} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} = 0 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{9}{6} = \frac{5}{3} + \frac{3}{2} = \frac{10}{6} + \frac{9}{6} = \frac{19}{6}$

分散 $V(X)$ は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で求められます。

$V(X) = \frac{19}{6} - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{19}{6} - \frac{9}{4} = \frac{38}{12} - \frac{27}{12} = \frac{11}{12}$

標準偏差 $\sigma(X)$ は、分散の平方根で求められます。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$

3. 最終的な答え

分散は $\frac{11}{12}$ であり、標準偏差は $\frac{\sqrt{33}}{6}$ である。