与えられたデータ：187, 135, 146, 185, a, 172, b について、以下の情報が与えられています。 * データの平均値は157 * データの中央値は163 * $a < b$ これらの条件から、$a$, $b$ の値を求め、さらにデータの四分位範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられたデータ：187, 135, 146, 185, a, 172, b について、以下の情報が与えられています。

* データの平均値は157

* データの中央値は163

* $a < b$

これらの条件から、$a$, $b$ の値を求め、さらにデータの四分位範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータと $a < b$ という条件から、データを小さい順に並べ替えます。数値が確定しているものから並べると、

135, 146, a, 172, b, 185, 187

となります。

次に、平均値が157であるという条件を利用します。データの合計は、$157 \times 7 = 1099$ です。既知のデータの合計は、$135 + 146 + 172 + 185 + 187 = 825$ です。したがって、$a + b = 1099 - 825 = 274$ となります。

中央値が163であることから、並べ替えたデータの中央の値が163である必要があります。データの数が7個なので、中央値は4番目の値です。したがって、並べ替えたデータは以下のいずれかになります。

* 135, 146, a, 172, b, 185, 187

* 135, 146, a, b, 172, 185, 187

中央値の条件から、4番目の値が163となるため、$a < 163$ でなければならないので、172はありえません。

したがって、a, 172, bの大小関係から、並べ替えたデータは、

135, 146, a, 172, b, 185, 187

となります。このデータの真ん中の値は172なので、中央値が163であるという条件を満たしません。

中央値が163であることを考慮すると、$a$ と $b$ のどちらかが163である可能性があります。

ただし、$a < b$ である必要があるので、まず仮に $a \le 163$、 $b \ge 163$であるとします。

データは小さい順に並べると以下のようになります。

135, 146, $a$, 172, $b$, 185, 187

ここで、中央値が163であるという条件を考慮すると、4番目の値が163となる必要があります。

したがって、正しくは、

135, 146, a, b, 172, 185, 187

となるケースも考えられます。

平均値の条件から、$a + b = 274$ でした。中央値が163であることから、並べ替えたデータの4番目の値が163である必要があります。したがって、並べ替えたデータは以下のいずれかになります。

1. 135, 146, a, 172, b, 185, 187　（中央値は172）

2. 135, 146, a, b, 172, 185, 187 （中央値は(a+b)/2）

$a, b$の値が確定できません。問題文に不備があると思われます。

問題文に不備がないと仮定して解きます。

中央値が163なので、並び替えたデータの中央の値は163です。よって $a < 163 < b$です。並び替えたデータを

135, 146, a, 172, b, 185, 187

とすると、このデータの真ん中の値は172なので、中央値が163であるという条件を満たしません。

よって並び替えたデータは、

135, 146, a, b, 172, 185, 187

であり、中央値が163なので $\frac{a + b}{2} = 163$となります。よって、$a + b = 326$です。

しかし、平均値が157であることから、$a + b = 274$なので、矛盾します。

問題文に不備があるとして、仮に172が162の間違いだとすると、並び替えたデータは、

135, 146, a, 162, b, 185, 187

となり、平均が157、中央値が163であるためには、

a < 163 < bである必要があります。

しかし、この場合中央値は162となってしまい、矛盾します。

問題文が正しいと仮定して、データに重複がある可能性を考慮します。

135, 146, a, 172, b, 185, 187

このデータの平均が157、中央値が163だとすると、a=151, b=123 となり、a < bの条件を満たさないので矛盾します。

135, 146, a, b, 172, 185, 187

このデータの平均が157, 中央値が163だとすると、$\frac{a+b}{2} = 163$であり、$a+b = 326$となります。

しかし、$a + b = 274$なので、矛盾します。

問題文に何らかの誤りがある可能性があります。

ここでは、$a=151$、$b=123$という矛盾を無視して、問題を解くことにします。

データは、135, 146, 151, 172, 123, 185, 187となります。

これを小さい順に並べると、123, 135, 146, 151, 172, 185, 187 となります。

このデータの第1四分位数は135、第3四分位数は185なので、四分位範囲は$185 - 135 = 50$となります。

3. 最終的な答え

問題文に矛盾があるため、厳密な答えは求められません。

仮に、$a=151$, $b=123$とした場合、四分位範囲は50となります。