8人の生徒を、指定された人数でグループ分けする方法の数を求めます。 (1) A, B, C, D の4つの組に、2人ずつ分ける。 (2) 2人ずつの4つの組に分ける。 (3) 3人, 3人, 2人の3つの組に分ける。

1. 問題の内容

8人の生徒を、指定された人数でグループ分けする方法の数を求めます。

(1) A, B, C, D の4つの組に、2人ずつ分ける。

(2) 2人ずつの4つの組に分ける。

(3) 3人, 3人, 2人の3つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, D の4つの組に、2人ずつ分ける場合

まず、8人の中からA組の2人を選ぶ組み合わせは ${}_8C_2$ 通り。

次に、残りの6人の中からB組の2人を選ぶ組み合わせは ${}_6C_2$ 通り。

次に、残りの4人の中からC組の2人を選ぶ組み合わせは ${}_4C_2$ 通り。

最後に、残りの2人の中からD組の2人を選ぶ組み合わせは ${}_2C_2$ 通り。

したがって、求める組み合わせの数は、

${}_8C_2 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$ 通り。

(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合

(1)と同様に、8人から2人ずつ4つの組に分ける組み合わせは${}_8C_2 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2$通り。

しかし、この場合、4つの組に区別がないため、組の並び順を考慮する必要はありません。

4つの組の並び順は4!通りなので、(1)の結果を4!で割る必要があります。

したがって、求める組み合わせの数は、

$\frac{{}_8C_2 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{4!} = \frac{2520}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$ 通り。

(3) 3人, 3人, 2人の3つの組に分ける場合

まず、8人の中から3人の組を選ぶ組み合わせは ${}_8C_3$ 通り。

次に、残りの5人の中から3人の組を選ぶ組み合わせは ${}_5C_3$ 通り。

最後に、残りの2人の中から2人の組を選ぶ組み合わせは ${}_2C_2$ 通り。

3人の組が2つあるので、組の区別をなくすために2!で割る必要があります。

したがって、求める組み合わせの数は、

$\frac{{}_8C_3 \times {}_5C_3 \times {}_2C_2}{2!} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{2 \times 1}{2 \times 1}}{2} = \frac{56 \times 10 \times 1}{2} = \frac{560}{2} = 280$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り

(3) 280通り