赤玉1個、緑玉2個、青玉3個が入った袋がある。A君がこの袋から同時に2個の玉を取り出し、取り出した玉を元に戻さずに、B君が袋から同時に2個の玉を取り出す。A君が取り出した2個の玉が同じ色であるという事象をX、B君が取り出した2個の玉が同じ色であるという事象をYとする。このとき、XとYの和事象$X \cup Y$の確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉1個、緑玉2個、青玉3個が入った袋がある。A君がこの袋から同時に2個の玉を取り出し、取り出した玉を元に戻さずに、B君が袋から同時に2個の玉を取り出す。A君が取り出した2個の玉が同じ色であるという事象をX、B君が取り出した2個の玉が同じ色であるという事象をYとする。このとき、XとYの和事象$X \cup Y$の確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、A君が2個の玉を取り出すときの場合の数を考える。

袋の中には合計6個の玉があるので、2個取り出す組み合わせは、

$_{6}C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

次に、事象X（A君が取り出した2個の玉が同じ色である）の確率$P(X)$を計算する。A君が同じ色の玉を取り出すのは、次のいずれかの場合である。

* 緑玉を2個取り出す: $_{2}C_{2} = 1$通り

* 青玉を2個取り出す: $_{3}C_{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り

したがって、$P(X) = \frac{1 + 3}{15} = \frac{4}{15}$となる。

次に、事象Y（B君が取り出した2個の玉が同じ色である）の確率$P(Y)$を計算する。これはA君がどの色の組み合わせを取り出したかによって変わるので、条件付き確率を使う必要がある。

$P(Y) = P(Y \cap X) + P(Y \cap X^c)$

$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$

$P(X \cap Y)$はA君とB君がともに同じ色の玉を取り出す確率である。

全事象は$_{6}C_{2} = 15$通り。

A君が同じ色を取り出す事象Xは、

緑2個　1通り

青2個　3通り

合計4通り

$P(X)=\frac{4}{15}$

次に、A君が取り出した玉の色ごとに場合分けして$P(Y)$を求める。

1) A君が緑2個を取り出した場合、袋に残るのは赤1個、青3個である。このときB君が同じ色の玉を取り出す確率は0である。（赤は1つしかない）

2) A君が青2個を取り出した場合、袋に残るのは赤1個、緑2個、青1個である。このときB君が同じ色の玉を取り出す確率は$\frac{_{2}C_{2}}{_{4}C_{2}} = \frac{1}{6}$である。

3) A君が緑、青を取り出した場合、袋に残るのは赤1個、緑1個、青2個である。このときB君が同じ色の玉を取り出す確率は$\frac{_{2}C_{2}}{_{4}C_{2}} = \frac{1}{6}$である。

4) A君が赤、緑を取り出した場合、袋に残るのは緑1個、青3個である。このときB君が同じ色の玉を取り出す確率は$\frac{_{3}C_{2}}{_{4}C_{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$である。

5) A君が赤、青を取り出した場合、袋に残るのは緑2個、青2個である。このときB君が同じ色の玉を取り出す確率は$\frac{_{2}C_{2} + _{2}C_{2}}{_{4}C_{2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

$P(Y|X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)}$より、

$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$

まず、$P(Y)$を計算する。

$P(Y) = P(X \cap Y) + P(X^c \cap Y)$

ここで、$P(X \cap Y)$はAもBも同じ色である確率なので、

$P(X \cap Y) = P(Y|X)P(X)$

Aが緑2個の場合、$P(Y|X)=0$なので、$P(X \cap Y)=0$

Aが青2個の場合、$P(Y|X)=1/6$なので、$P(X \cap Y)=\frac{1}{6} \times \frac{3}{15} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$

$P(X \cap Y) = \frac{1}{30}$

次に、$P(Y)$を計算する。

全体の組み合わせ数は$_{6}C_{2}=15$通り。Aの残りの組み合わせ数は$6 \times 5 = 30$通り

Aが緑2個の場合、$Y=0$通り

Aが青2個の場合、$P(Y|青2)=\frac{1}{6}$となりうる。$P(Y)$は$\frac{1}{30}$

$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$

$P(X) = \frac{4}{15}$

$P(X^c) = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$

$P(Y) = \frac{5}{12}$

$P(X \cup Y) = \frac{4}{15} + \frac{5}{12} - \frac{1}{30} = \frac{16}{60} + \frac{25}{60} - \frac{2}{60} = \frac{39}{60} = \frac{13}{20}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{20}$