29個のデータ $x_i = ai$ ($i = 1, 2, 3, ..., 29$) からなる変量 $x$ について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は正の定数とする。 (1) $x$ の平均値 $\overline{x}$ と標準偏差 $s_x$ を求めよ。 (2) 変量 $z$ を $z = \frac{x - \overline{x}}{s_x}$ により定める。このとき、$z$ の平均値 $\overline{z}$ と標準偏差 $s_z$ を求めよ。 ただし、$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ であることを用いて良い。

1. 問題の内容

29個のデータ $x_i = ai$ ($i = 1, 2, 3, ..., 29$) からなる変量 $x$ について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) $x$ の平均値 $\overline{x}$ と標準偏差 $s_x$ を求めよ。

(2) 変量 $z$ を $z = \frac{x - \overline{x}}{s_x}$ により定める。このとき、$z$ の平均値 $\overline{z}$ と標準偏差 $s_z$ を求めよ。

ただし、$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ であることを用いて良い。

2. 解き方の手順

(1)

平均値 $\overline{x}$ は、

$\overline{x} = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} x_i = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} ai = \frac{a}{29} \sum_{i=1}^{29} i$

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると

$\overline{x} = \frac{a}{29} \cdot \frac{29(29+1)}{2} = \frac{a}{29} \cdot \frac{29 \cdot 30}{2} = 15a$

次に、$x^2$ の平均 $\overline{x^2}$ を求める。

$\overline{x^2} = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} x_i^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (ai)^2 = \frac{a^2}{29} \sum_{i=1}^{29} i^2$

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いると

$\overline{x^2} = \frac{a^2}{29} \cdot \frac{29(29+1)(2 \cdot 29+1)}{6} = \frac{a^2}{29} \cdot \frac{29 \cdot 30 \cdot 59}{6} = a^2 \cdot \frac{30 \cdot 59}{6} = 5 \cdot 59 a^2 = 295 a^2$

分散 $s_x^2$ は、

$s_x^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2 = 295a^2 - (15a)^2 = 295a^2 - 225a^2 = 70a^2$

標準偏差 $s_x$ は、

$s_x = \sqrt{s_x^2} = \sqrt{70a^2} = \sqrt{70} a$ (∵ $a>0$)

(2)

$\overline{z} = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} z_i = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} \frac{x_i - \overline{x}}{s_x} = \frac{1}{29 s_x} \sum_{i=1}^{29} (x_i - \overline{x}) = \frac{1}{29 s_x} \left( \sum_{i=1}^{29} x_i - \sum_{i=1}^{29} \overline{x} \right) = \frac{1}{29 s_x} (29 \overline{x} - 29 \overline{x}) = 0$

$s_z^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (z_i - \overline{z})^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} z_i^2 = \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} \left(\frac{x_i - \overline{x}}{s_x}\right)^2 = \frac{1}{29 s_x^2} \sum_{i=1}^{29} (x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{s_x^2} \left( \frac{1}{29} \sum_{i=1}^{29} (x_i - \overline{x})^2 \right) = \frac{1}{s_x^2} s_x^2 = 1$

$s_z = \sqrt{s_z^2} = \sqrt{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{x} = 15a$, $s_x = \sqrt{70}a$

(2) $\overline{z} = 0$, $s_z = 1$