有病率 $p$ の二項分布 $B(n, p)$ に従う変数 $X$ が与えられています。$n=100$, $p=0.5$ のとき、100人中64人が有病である場合の標準化 $Z = \frac{X - E[X]}{\sqrt{V[X]}}$ を求めます。ここで、$E[X]$ は $X$ の期待値、$V[X]$ は $X$ の分散です。

1. 問題の内容

有病率 $p$ の二項分布 $B(n, p)$ に従う変数 $X$ が与えられています。$n=100$, $p=0.5$ のとき、100人中64人が有病である場合の標準化 $Z = \frac{X - E[X]}{\sqrt{V[X]}}$ を求めます。ここで、$E[X]$ は $X$ の期待値、$V[X]$ は $X$ の分散です。

2. 解き方の手順

まず、期待値 $E[X]$ を計算します。

$E[X] = np = 100 \times 0.5 = 50$

次に、分散 $V[X]$ を計算します。

$V[X] = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times (1-0.5) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

標準偏差 $\sqrt{V[X]}$ を計算します。

$\sqrt{V[X]} = \sqrt{25} = 5$

最後に、標準化 $Z$ を計算します。$X = 64$ を代入します。

$Z = \frac{X - E[X]}{\sqrt{V[X]}} = \frac{64 - 50}{5} = \frac{14}{5} = 2.8$

3. 最終的な答え

2. 8