男子4人と女子4人が1列に並ぶときの、以下の並び方の総数を求める問題です。 (1) 両端が男子である並び方 (2) 両端の少なくとも一方が女子である並び方 (3) 男子と女子が交互に並ぶ並び方 (4) どの男子も隣り合わない並び方

1. 問題の内容

男子4人と女子4人が1列に並ぶときの、以下の並び方の総数を求める問題です。

(1) 両端が男子である並び方

(2) 両端の少なくとも一方が女子である並び方

(3) 男子と女子が交互に並ぶ並び方

(4) どの男子も隣り合わない並び方

2. 解き方の手順

(1) 両端が男子である並び方

まず、両端に並ぶ男子2人を選ぶ。これは $4P2 = 4 \times 3 = 12$ 通り。

次に、残りの6人の並び方を考える。これは $6! = 720$ 通り。

したがって、両端が男子である並び方は $12 \times 720 = 8640$ 通り。

(2) 両端の少なくとも一方が女子である並び方

全体の並び方から両端が男子である並び方を引けば良い。

全体の並び方は $8! = 40320$ 通り。

(1)で求めたように両端が男子である並び方は $8640$ 通り。

したがって、両端の少なくとも一方が女子である並び方は $40320 - 8640 = 31680$ 通り。

(3) 男子と女子が交互に並ぶ並び方

男子と女子が交互に並ぶには、次の2パターンしかない：

(i) 男子、女子、男子、女子、男子、女子、男子、女子

(ii) 女子、男子、女子、男子、女子、男子、女子、男子

(i)の場合、男子の並び方は $4! = 24$ 通り、女子の並び方も $4! = 24$ 通り。よって、 $24 \times 24 = 576$ 通り。

(ii)の場合も同様に、男子の並び方は $4! = 24$ 通り、女子の並び方も $4! = 24$ 通り。よって、 $24 \times 24 = 576$ 通り。

したがって、男子と女子が交互に並ぶ並び方は $576 + 576 = 1152$ 通り。

(4) どの男子も隣り合わない並び方

まず、女子4人を並べる。これは $4! = 24$ 通り。

次に、女子の間の5つの隙間（両端を含む）から4つを選んで男子を並べる。これは $5P4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 通り。

したがって、どの男子も隣り合わない並び方は $24 \times 120 = 2880$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 8640通り

(2) 31680通り

(3) 1152通り

(4) 2880通り