有病率 $p$ のとき、$n$ 人のうち $X$ 人が有病である場合、変数 $X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う。$X \sim B(n, p)$ のとき、$X$ の期待値 $E[X] = np$ 、分散 $V[X] = np(1-p)$ である。有病率が 50% であるとして、100 人中の 64 人が有病であるときの標準化 $Z = (X - E[X]) / \sqrt{V[X]}$ を求める。

1. 問題の内容

有病率 $p$ のとき、$n$ 人のうち $X$ 人が有病である場合、変数 $X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従う。$X \sim B(n, p)$ のとき、$X$ の期待値 $E[X] = np$ 、分散 $V[X] = np(1-p)$ である。有病率が 50% であるとして、100 人中の 64 人が有病であるときの標準化 $Z = (X - E[X]) / \sqrt{V[X]}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報から $n$、$p$、$X$ の値を特定します。

- $n = 100$ （人数）

- $p = 0.5$ （有病率）

- $X = 64$ （有病者の数）

次に、期待値 $E[X]$ を計算します。

$E[X] = np = 100 \times 0.5 = 50$

次に、分散 $V[X]$ を計算します。

$V[X] = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times (1-0.5) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

次に、標準偏差 $\sqrt{V[X]}$ を計算します。

$\sqrt{V[X]} = \sqrt{25} = 5$

最後に、標準化 $Z$ を計算します。

$Z = (X - E[X]) / \sqrt{V[X]} = (64 - 50) / 5 = 14 / 5 = 2.8$

3. 最終的な答え

2. 8