50人の生徒の通学方法に関する問題です。電車、バス、自転車の利用者数、およびそれらの組み合わせの利用者数が与えられています。どれも利用しない生徒が10人いるとき、以下の人数を求めます。 (1) 電車、バス、自転車のどれかを利用する者の人数 (2) 電車、バス、自転車のすべてを利用する者の人数

1. 問題の内容

50人の生徒の通学方法に関する問題です。電車、バス、自転車の利用者数、およびそれらの組み合わせの利用者数が与えられています。どれも利用しない生徒が10人いるとき、以下の人数を求めます。

(1) 電車、バス、自転車のどれかを利用する者の人数

(2) 電車、バス、自転車のすべてを利用する者の人数

2. 解き方の手順

(1) 電車、バス、自転車のどれかを利用する者の人数を求めます。

まず、全体からどれも利用しない者の人数を引きます。

$50 - 10 = 40$

これは、電車、バス、自転車の少なくとも1つを利用する生徒の人数です。

(2) 電車、バス、自転車のすべてを利用する者の人数を求めます。

集合の要素数を表す記号を用いて、

$n(A)$ を集合 $A$ の要素数とします。

$n(U) = 50$ (全体の生徒数)

$n(\overline{A \cup B \cup C}) = 10$ (どれも利用しない生徒数)

$n(A) = 22$ (電車利用者数)

$n(B) = 20$ (バス利用者数)

$n(C) = 15$ (自転車利用者数)

$n(A \cap B) = 9$ (電車とバスの利用者数)

$n(B \cap C) = 5$ (バスと自転車の利用者数)

$n(C \cap A) = 6$ (自転車と電車の利用者数)

まず、$n(A \cup B \cup C)$ を求めます。これは、電車、バス、自転車の少なくとも1つを利用する生徒の人数なので、全体からどれも利用しない生徒数を引けば求まります。

$n(A \cup B \cup C) = 50 - 10 = 40$

包除原理より、以下の公式が成り立ちます。

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

この公式に与えられた値を代入します。

$40 = 22 + 20 + 15 - 9 - 5 - 6 + n(A \cap B \cap C)$

$40 = 57 - 20 + n(A \cap B \cap C)$

$40 = 37 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 40 - 37$

$n(A \cap B \cap C) = 3$

$n(A \cap B \cap C)$ は、電車、バス、自転車のすべてを利用する生徒の人数を表します。

3. 最終的な答え

(1) 電車、バス、自転車のどれかを利用する者の人数：40人

(2) 電車、バス、自転車のすべてを利用する者の人数：3人