5人の男子生徒と5人の女子生徒の合計10人の中から5人を選ぶ場合の数を、以下の3つの条件で求めます。 (1) 男子2人、女子3人を選ぶ選び方 (2) 特定の2人A,Bがともに含まれる選び方 (3) 男子が1人以上含まれる選び方

1. 問題の内容

5人の男子生徒と5人の女子生徒の合計10人の中から5人を選ぶ場合の数を、以下の3つの条件で求めます。

(1) 男子2人、女子3人を選ぶ選び方

(2) 特定の2人A,Bがともに含まれる選び方

(3) 男子が1人以上含まれる選び方

2. 解き方の手順

(1) 男子2人、女子3人を選ぶ選び方

男子5人から2人を選ぶ組み合わせの数は ${}_5C_2$ です。

女子5人から3人を選ぶ組み合わせの数は ${}_5C_3$ です。

したがって、男子2人、女子3人を選ぶ組み合わせの数は、これらの積で求められます。

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、求める組み合わせの数は $10 \times 10 = 100$ 通りです。

(2) 特定の2人A,Bがともに含まれる選び方

AとBはすでに選ばれているので、残りの3人を8人から選ぶ組み合わせの数を求めます。

8人から3人を選ぶ組み合わせの数は ${}_8C_3$ です。

${}_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

よって、求める組み合わせの数は 56 通りです。

(3) 男子が1人以上含まれる選び方

まず、10人から5人を選ぶ全ての組み合わせの数を求めます。

これは ${}_{10}C_5$ です。

${}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

次に、男子が1人も含まれない、つまり女子5人だけを選ぶ組み合わせの数を求めます。

これは ${}_5C_5 = 1$ です。

男子が1人以上含まれる組み合わせの数は、全ての組み合わせから男子が1人も含まれない組み合わせの数を引いたものです。

したがって、求める組み合わせの数は $252 - 1 = 251$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 56通り

(3) 251通り