男子5人(A, B, C, D, E)と女子3人(F, G, H)の計8人が円形のテーブルに着席する。このとき、以下の条件を満たす座り方の数を求める。 (1) 女子の両隣には必ず男子が座る。 (2) FとGの間に男子1人が座る。

1. 問題の内容

男子5人(A, B, C, D, E)と女子3人(F, G, H)の計8人が円形のテーブルに着席する。このとき、以下の条件を満たす座り方の数を求める。

(1) 女子の両隣には必ず男子が座る。

(2) FとGの間に男子1人が座る。

2. 解き方の手順

(1) 女子の両隣には必ず男子が座る場合

まず、男子5人を円形に並べる。円順列なので、並べ方は $(5-1)! = 4! = 24$ 通り。

次に、男子の間に女子を座らせる。男子の間の5つの席から3つを選んで女子を座らせる。席の選び方は $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

最後に、選んだ席に女子を並べる。並べ方は $3! = 6$ 通り。

したがって、座り方の総数は $24 \times 60 \times 6 = 8640$ 通り。

(2) FとGの間に男子1人が座る場合

まず、FとGを固定して考えます。FとGの間に座る男子1人を選びます。これは5通りです。F, 男子, Gをひとまとめにして考えます。このまとまりと残りの男子4人、女子Hの計6人を円形に並べるので、$(6-1)!=5!=120$通り。さらに、FとGの並び順を考慮すると、$2!=2$通り。したがって、この場合の座り方は $5 \times 120 \times 2 = 1200$通り。

3. 最終的な答え

(1) 8640通り

(2) 1200通り