(1) 6人を2つの部屋A, Bに分けるとき、どの部屋も1人以上になる分け方は何通りあるか。 (2) 6人を3つの部屋A, B, Cに分けるとき、どの部屋も1人以上になる分け方は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 6人を2つの部屋A, Bに分けるとき、どの部屋も1人以上になる分け方は何通りあるか。

(2) 6人を3つの部屋A, B, Cに分けるとき、どの部屋も1人以上になる分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

6人を2つの部屋に分ける場合の総数は、各人が部屋AまたはBのどちらかを選ぶので $2^6 = 64$ 通りです。

しかし、これには全員が部屋Aにいる場合と全員が部屋Bにいる場合が含まれています。これらの場合はどの部屋も1人以上いるという条件を満たさないため、除外する必要があります。

したがって、求める場合の数は $2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$ 通りです。

さらに、部屋Aと部屋Bの区別がない場合、上記の数を2で割る必要があります。しかし、ここでは部屋Aと部屋Bの区別があるので、上記の値がそのまま答えになります。

(2)

6人を3つの部屋に分ける場合の総数は、$3^6 = 729$ 通りです。

しかし、これには少なくとも1つの部屋が空室になる場合が含まれています。

1つの部屋が空室になる場合は、$3 \times (2^6 - 2) = 3 \times (64 - 2) = 3 \times 62 = 186$ 通りです。

2つの部屋が空室になる場合は、各部屋に全員が入る場合が3通りです。

したがって、求める場合の数は、

$3^6 - 3 \times 2^6 + 3 = 729 - 3 \times 64 + 3 = 729 - 192 + 3 = 540$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 62通り

(2) 540通り