問題は3つあります。 問題2: 大学生Aさんの小テスト5回の平均点が72点である。1回目の点数が57点、3回目が83点、4回目が75点、5回目が80点であるとき、2回目の点数を求める。 問題3: 20人の学生のテストのスコア分布が与えられたグラフから、平均値、中央値、最頻値を求め、標準偏差を小数点以下第一位を四捨五入して整数値で求める。 問題4: 80個の値からなるデータがあり、そのうち20個の平均値が16、分散が24、残りの60個の平均値が12、分散が28である。このデータ全体の平均値と分散を求める。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題2: 大学生Aさんの小テスト5回の平均点が72点である。1回目の点数が57点、3回目が83点、4回目が75点、5回目が80点であるとき、2回目の点数を求める。

問題3: 20人の学生のテストのスコア分布が与えられたグラフから、平均値、中央値、最頻値を求め、標準偏差を小数点以下第一位を四捨五入して整数値で求める。

問題4: 80個の値からなるデータがあり、そのうち20個の平均値が16、分散が24、残りの60個の平均値が12、分散が28である。このデータ全体の平均値と分散を求める。

2. 解き方の手順

問題2:

5回の平均点が72点なので、合計点は $72 \times 5 = 360$ 点である。

1, 3, 4, 5回目の合計点は $57 + 83 + 75 + 80 = 295$ 点である。

2回目の点数は $360 - 295 = 65$ 点である。

問題3:

まず、各点数の人数をグラフから読み取る。

0点:0人、10点:0人、20点:1人、30点:2人、40点:3人、50点:4人、60点:7人、70点:1人、80点:1人、90点:1人、100点:0人

平均値:

$\frac{20 \times 1 + 30 \times 2 + 40 \times 3 + 50 \times 4 + 60 \times 7 + 70 \times 1 + 80 \times 1 + 90 \times 1}{20} = \frac{20 + 60 + 120 + 200 + 420 + 70 + 80 + 90}{20} = \frac{1060}{20} = 53$

中央値:

20人なので、10番目と11番目の人の平均が中央値となる。

累積人数は、0:0人、10:0人、20:1人、30:3人、40:6人、50:10人、60:17人

よって、10番目と11番目の人はそれぞれ50点と60点なので、中央値は $\frac{50 + 60}{2} = 55$

最頻値:

最も人数の多い点数は60点である。

標準偏差:

分散を求める。

分散 = $\frac{(20-53)^2 \times 1 + (30-53)^2 \times 2 + (40-53)^2 \times 3 + (50-53)^2 \times 4 + (60-53)^2 \times 7 + (70-53)^2 \times 1 + (80-53)^2 \times 1 + (90-53)^2 \times 1}{20}$

= $\frac{(-33)^2 \times 1 + (-23)^2 \times 2 + (-13)^2 \times 3 + (-3)^2 \times 4 + (7)^2 \times 7 + (17)^2 \times 1 + (27)^2 \times 1 + (37)^2 \times 1}{20}$

= $\frac{1089 + 1058 + 507 + 36 + 343 + 289 + 729 + 1369}{20} = \frac{5419}{20} = 270.95$

標準偏差 = $\sqrt{270.95} \approx 16.46$

小数点以下第一位を四捨五入すると16

問題4:

全体の平均:

全体の合計は $20 \times 16 + 60 \times 12 = 320 + 720 = 1040$

全体の平均は $\frac{1040}{80} = 13$

全体の分散:

$V(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ より、

$E[X^2] = V(X) + (E[X])^2$

20個のデータの $E[X^2] = 24 + 16^2 = 24 + 256 = 280$

60個のデータの $E[X^2] = 28 + 12^2 = 28 + 144 = 172$

全体の $E[X^2] = \frac{20 \times 280 + 60 \times 172}{80} = \frac{5600 + 10320}{80} = \frac{15920}{80} = 199$

全体の分散 = $199 - 13^2 = 199 - 169 = 30$

3. 最終的な答え

問題2: 65点

問題3: 平均値: 53, 中央値: 55, 最頻値: 60, 標準偏差: 16

問題4: 全体の平均値: 13, 全体の分散: 30