100人の買い物客を対象に、商品Aと商品Bの購入調査が行われました。商品Aを購入した人は80人、商品Bを購入した人は70人でした。 (1) 商品Aと商品Bの両方を購入した人の数の最大値と最小値を求めます。 (2) 商品Aと商品Bのどちらも購入しなかった人の数の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

100人の買い物客を対象に、商品Aと商品Bの購入調査が行われました。商品Aを購入した人は80人、商品Bを購入した人は70人でした。

(1) 商品Aと商品Bの両方を購入した人の数の最大値と最小値を求めます。

(2) 商品Aと商品Bのどちらも購入しなかった人の数の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 商品Aと商品Bの両方を購入した人の数について

* **最大値:** 商品Bを購入した人(70人)全員が商品Aも購入した場合に最大となります。したがって、最大値は70人です。

* **最小値:** 全体100人の中で、商品Aを購入した人が80人、商品Bを購入した人が70人なので、少なくとも両方を購入した人がいないと、合計が100人を超えてしまいます。Aのみを買った人を $x$ 人、Bのみを買った人を $y$ 人、両方買った人を $z$ 人、どちらも買わなかった人を $w$ 人とすると、

$x + z = 80$

$y + z = 70$

$x + y + z + w = 100$

ここで、$x + y + z = 80 + 70 - z = 150 - z$

したがって、$150 - z + w = 100$ となり、$z = 50 + w$

$w$ は0以上の整数なので、$z$ の最小値は $w = 0$ のときで50人となります。

したがって、最小値は50人です。

(2) 商品Aと商品Bのどちらも購入しなかった人の数について

* **最大値:** 商品A, 商品Bの購入者の合計が最小になるほど、どちらも買わなかった人の数は最大になります。商品Aを買った80人と商品Bを買った70人のうち、両方買った人の数が最大（70人）の場合に、購入者全体の人数は最小になります。このとき、Aのみを買った人は $80 - 70 = 10$ 人、Bのみを買った人は0人、両方買った人は70人なので、購入者は $10 + 0 + 70 = 80$ 人です。よって、どちらも買わなかった人は $100 - 80 = 20$ 人となります。

* **最小値:** 商品A, 商品Bの購入者の合計が最大になるほど、どちらも買わなかった人の数は最小になります。商品Aを買った80人と商品Bを買った70人のうち、両方買った人の数が最小（50人）の場合に、購入者全体の人数は最大になります。このとき、Aのみを買った人は $80 - 50 = 30$ 人、Bのみを買った人は $70 - 50 = 20$ 人、両方買った人は50人なので、購入者は $30 + 20 + 50 = 100$ 人です。よって、どちらも買わなかった人は $100 - 100 = 0$ 人となります。

3. 最終的な答え

(1) 商品A, 商品Bを両方とも買った人の人数: 最大値 70人, 最小値 50人

(2) 商品A, 商品Bを両方とも買わなかった人の人数: 最大値 20人, 最小値 0人