4つのサイコロを同時に投げたとき、出る目の積を$X$とする。以下の確率を求めよ。 (1) $X$が25の倍数になる確率 (2) $X$が4の倍数になる確率 (3) $X$が100の倍数になる確率

1. 問題の内容

4つのサイコロを同時に投げたとき、出る目の積を$X$とする。以下の確率を求めよ。

(1) $X$が25の倍数になる確率

(2) $X$が4の倍数になる確率

(3) $X$が100の倍数になる確率

2. 解き方の手順

(1) $X$が25の倍数になる確率

$X$が25の倍数になるのは、少なくとも2つのサイコロの目が5である場合、または少なくとも1つのサイコロの目が5であり、かつ別のサイコロの目が5の倍数である場合である。

少なくとも2つのサイコロが5である確率は、少なくとも2つのサイコロが5の場合を含む。

2つのサイコロが5である確率: $_4C_2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{25}{6^4} = \frac{150}{6^4}$

3つのサイコロが5である確率: $_4C_3 (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{5}{6^4} = \frac{20}{6^4}$

4つのサイコロが5である確率: $_4C_4 (\frac{1}{6})^4 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{6^4} = \frac{1}{6^4}$

よって、$X$が25の倍数になる確率は$\frac{150+20+1}{6^4}=\frac{171}{1296} = \frac{19}{144}$

(2) $X$が4の倍数になる確率

$X$が4の倍数になるのは、以下のいずれかの場合である。

- 少なくとも1つのサイコロが4である。

- 少なくとも2つのサイコロが2または6である。

- 少なくとも1つのサイコロが2または6であり、少なくとも1つのサイコロが偶数である。

- 少なくとも2つのサイコロが4である。

余事象として、$X$が4の倍数にならない確率を考える。これは、全てのサイコロが奇数であるか、または1つのサイコロのみが2または6であり、残りが奇数の場合である。

すべてのサイコロが奇数である確率: $(\frac{3}{6})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

1つのサイコロが2または6で、残りが奇数である確率: $_4C_1 (\frac{2}{6}) (\frac{3}{6})^3 = 4 \times \frac{2}{6} \times \frac{27}{216} = \frac{216}{1296} = \frac{1}{6}$

よって、$X$が4の倍数にならない確率は$\frac{1}{16} + \frac{1}{6} = \frac{3+8}{48} = \frac{11}{48}$

したがって、$X$が4の倍数になる確率は$1 - \frac{11}{48} = \frac{37}{48}$

(3) $X$が100の倍数になる確率

$X$が100の倍数になるのは、以下のいずれかの場合である。

- 少なくとも2つのサイコロが5であり、少なくとも1つのサイコロが4である。

- 少なくとも2つのサイコロが5であり、少なくとも2つのサイコロが2または6である。

- 少なくとも1つのサイコロが5であり、少なくとも1つのサイコロが20の倍数である。

- 少なくとも1つのサイコロが5であり、少なくとも1つのサイコロが5であり、少なくとも1つのサイコロが4である。

- 少なくとも1つのサイコロが5であり、少なくとも1つのサイコロが5であり、少なくとも2つのサイコロが偶数である。

少なくとも2つのサイコロが5であり、少なくとも1つのサイコロが4である場合は存在する。

$100=2^2 \cdot 5^2$ なので、$X$ が $100$ の倍数であるためには、少なくとも2つの5の目が出て、少なくとも2つの因数2が必要である。つまり、4, 2, 6 のいずれかが出る必要がある。

少なくとも2つのサイコロが5である確率は$\frac{171}{1296} = \frac{19}{144}$である。（(1)で計算済み）

少なくとも1つの4が出る場合の確率:1-(4が出ない)^4=$1-(\frac{5}{6})^4 = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296}$

少なくとも2つの5が出て、少なくとも1つの4が出る確率を求めるのは大変なので、別の考え方をする。

少なくとも2つの5が必要なので、2つの5の目を固定して、残りの目のパターンを考える方が簡単。

$5 \cdot 5 \cdot a \cdot b$ が $100$ の倍数になるためには、$a \cdot b$ が $4$ の倍数になればよい。

$a \cdot b$ が 4 の倍数になるのは、

- $a = 4$ または $b=4$: $1 - (\frac{5}{6})^2 = \frac{11}{36}$

- $a, b$ のどちらかが2または6:

$_2C_1 (\frac{3}{6}) (\frac{2}{6}) = \frac{12}{36}$

- $a = 2 または 6, b = 2 または 6$:

$\frac{4}{36}$

全体の場合数は $6^4 = 1296$

確率は $P = \frac{171}{1296} * 1 - (\frac{4}{6})^2 = (\frac{37}{48}*(\frac{2}{6})^2)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{19}{144}$

(2) $\frac{37}{48}$

(3) $\frac{7}{144}$