大小中3個のサイコロを同時に投げたとき、目の和が8になる場合は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを同時に投げたとき、目の和が8になる場合は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

3つのサイコロの目をそれぞれ $x, y, z$ とします。ここで、$x, y, z$ はそれぞれ1から6までの整数です。問題は、以下の条件を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めることになります。

$x + y + z = 8$

$1 \le x \le 6$

$1 \le y \le 6$

$1 \le z \le 6$

まず、$x, y, z \ge 1$ という条件より、$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z' \ge 0$ であり、

$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 8$

$x' + y' + z' = 5$

となります。

この式を満たす非負整数の組 $(x', y', z')$ の個数を求めます。これは、「5個の区別できない玉を3つの区別できる箱に入れる」場合の数と同じであり、重複組み合わせで計算できます。

重複組み合わせの公式を用いると、$_nH_r = {}_{n+r-1}C_r$ なので、この場合、

$_3H_5 = {}_{3+5-1}C_5 = {}_7C_5 = {}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通りとなります。

しかし、$x, y, z \le 6$ という条件を満たす必要があります。

もし、$x > 6$ なら、$x' > 5$ となりますが、$x' + y' + z' = 5$ なので、$x' > 5$ となることはありません。同様に、$y > 6$ や $z > 6$ となることもありません。

したがって、21通りすべてが条件を満たします。

すべての組み合わせを列挙すると：

(1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2), (1, 6, 1)

(2, 1, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 2), (2, 5, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 2, 2), (4, 3, 1)

(5, 1, 2), (5, 2, 1)

(6, 1, 1)

これらの組み合わせを並び替えることを考えると、以下のように分類できます。

* (1, 1, 6) の並び替え: 3通り

* (1, 2, 5) の並び替え: 6通り

* (1, 3, 4) の並び替え: 6通り

* (2, 2, 4) の並び替え: 3通り

* (2, 3, 3) の並び替え: 3通り

したがって、3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21 通りとなります。

3. 最終的な答え

21通り