7人の大人と5人の子供の中から3人を選ぶ。 (1) 大人が2人以上選ばれる場合の数。 (2) 少なくとも子供が1人選ばれる場合の数。

1. 問題の内容

7人の大人と5人の子供の中から3人を選ぶ。

(1) 大人が2人以上選ばれる場合の数。

(2) 少なくとも子供が1人選ばれる場合の数。

2. 解き方の手順

(1) 大人が2人以上選ばれる場合

3人の中から大人が2人または3人選ばれる場合を考える。

* 大人が2人、子供が1人の場合: 大人の選び方は $_7C_2$通り、子供の選び方は $_5C_1$通りなので、$_7C_2 \times _5C_1$通り

* 大人が3人、子供が0人の場合: 大人の選び方は $_7C_3$通り

よって、$_7C_2 \times _5C_1 + _7C_3$を計算する。

$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$_5C_1 = 5$

$_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$21 \times 5 + 35 = 105 + 35 = 140$

(2) 少なくとも子供が1人選ばれる場合

3人を選ぶ全ての場合の数から、子供が0人（全員大人）の場合の数を引く。

3人を選ぶ全ての組み合わせは $_{12}C_3$通り。

全員大人の場合は $_7C_3$通り。

よって、$_{12}C_3 - _7C_3$を計算する。

$_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$

$_7C_3 = 35$ (上記で計算済み)

$220 - 35 = 185$

3. 最終的な答え

(1) 140通り

(2) 185通り