サイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定める問題です。 (1)ではルールAに従って得点を計算します。ルールAは、k回目に初めて1が出たら7点、それ以外は出た目の数を得点とするというものです。 (2)ではルールAを変更したルールBに従って得点を計算します。ルールBは、k回目に2度目の1が出たら7点、それ以外は出た目の数を得点とするというものです。

1. 問題の内容

サイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定める問題です。

(1)ではルールAに従って得点を計算します。ルールAは、k回目に初めて1が出たら7点、それ以外は出た目の数を得点とするというものです。

(2)ではルールAを変更したルールBに従って得点を計算します。ルールBは、k回目に2度目の1が出たら7点、それ以外は出た目の数を得点とするというものです。

2. 解き方の手順

(1)ルールAについて

* 1回目の得点が7点となるのは、1回目に1の目が出た場合です。サイコロの目は1から6までなので、1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ です。よって、ア = 1, イ = 6 となります。

* 1回目の得点が4点以上となるのは、4, 5, 6のいずれかの目が出た場合です。その確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。よって、ウ = 1, エ = 2 となります。

* 1回目の得点の期待値は、$1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$ です。よって、オ = 7, カ = 2 となります。

* 2回目の得点が7点となるのは、1回目に1以外の目が出て、2回目に1の目が出た場合です。1回目に1以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$ で、2回目に1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ なので、確率は $\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ です。よって、キ = 5, クケ = 36 となります。

* 2回目の得点が1点となるのは、1回目に1が出て、2回目も1が出た場合と、1回目に1以外の目が出て、2回目に1が出た場合です。すでに2回目に7点である確率を計算しているので、2回目の得点が1点になる確率は、$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} + \frac{5}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ です。よって、コ = 1, サシ = 6 となります。

(2)ルールBについて

* 6回目の得点が7点となるのは、6回目に2度目の1の目が出た場合です。5回目までに1が1回だけ出て、6回目に1が出る確率を計算します。5回目までに1が1回だけ出る確率は、$_{5}C_{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^4 = 5 \times \frac{1}{6} \times \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776}$。これに6回目に1が出る確率 $\frac{1}{6}$ を掛けると、$\frac{3125}{7776} \times \frac{1}{6} = \frac{3125}{46656}$ となります。 問題文には $\frac{5}{6}$ が既にあるため、$\frac{5^4}{6^5}$ となるべきである。よって、ソ=5、タチ=4、ツテト=6、ナ=5、ニ=5となります。

* 6回目の得点の期待値は、$k$回目に1が2回出る以外の時は、$k$回目に出た目の数を得点とあるので、1から6の目の期待値は3.5となります。$\frac{7}{2}$ は、このことを指しています。6回目の得点の期待値は、$1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ に、2度目の1が出て7点になることを考慮して、計算します。

3. 最終的な答え

(1) ルールAについて

ア = 1

イ = 6

ウ = 1

エ = 2

オ = 7

カ = 2

キ = 5

クケ = 36

コ = 1

サシ = 6

(2) ルールBについて

ソ = 5

タチ = 4

ツテト = 6

ナ = 5

ニ = 5

ヌ = 6