大人3人、子供5人の中から4人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるか。 (1) 大人2人と子供2人を選ぶ。 (2) 大人が少なくとも1人含まれるように選ぶ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

大人3人、子供5人の中から4人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるか。

(1) 大人2人と子供2人を選ぶ。

(2) 大人が少なくとも1人含まれるように選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 大人2人と子供2人を選ぶ場合

3人から2人の大人を選ぶ組み合わせは $_3C_2$ 通り。

5人から2人の子供を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ 通り。

したがって、大人2人と子供2人を選ぶ組み合わせの総数は、

$_3C_2 \times _5C_2$ となります。

計算すると、

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、$_3C_2 \times _5C_2 = 3 \times 10 = 30$ 通り

(2) 大人が少なくとも1人含まれるように選ぶ場合

まず、8人から4人を選ぶすべての組み合わせを計算します。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通り

次に、大人を1人も選ばない場合（つまり、子供だけを選ぶ場合）の組み合わせを計算します。

子供5人から4人を選ぶ組み合わせは $_5C_4$ 通り。

$_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1} = 5$ 通り

大人が少なくとも1人含まれる組み合わせの数は、すべての組み合わせから大人を1人も選ばない組み合わせを引いたものです。

したがって、$70 - 5 = 65$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 65通り