母平均1、母標準偏差1の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出する。標本平均 $\bar{X}$ が0.9以上1.1以下である確率を、$n=100, 400$ の場合について考察する。$n=100$ のとき、$\bar{X}$ は近似的に正規分布 $N(1, (\frac{1}{10})^2)$ に従う。$Z=\frac{\bar{X}-1}{ア}$ とおくと、$Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。 $P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = P(-イ \le Z \le イ) = ウP(0 \le Z \le イ) = 0.エオカ$ である。 また、$n=400$ のときも同様に考えると、$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = 0.キクケ$ である。 これらの結果から、問題1において $コ$。

1. 問題の内容

母平均1、母標準偏差1の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出する。標本平均 $\bar{X}$ が0.9以上1.1以下である確率を、$n=100, 400$ の場合について考察する。$n=100$ のとき、$\bar{X}$ は近似的に正規分布 $N(1, (\frac{1}{10})^2)$ に従う。$Z=\frac{\bar{X}-1}{ア}$ とおくと、$Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = P(-イ \le Z \le イ) = ウP(0 \le Z \le イ) = 0.エオカ$ である。

また、$n=400$ のときも同様に考えると、$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = 0.キクケ$ である。

これらの結果から、問題1において $コ$。

2. 解き方の手順

まず、$Z = \frac{\bar{X}-1}{ア}$ とおくと、$Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うことから、$Var(\bar{X}) = (\frac{1}{10})^2 = \frac{1}{n}$ より、$n = 100$ であるから、$V(\bar{X}) = \frac{1}{100}$ 。

$\bar{X}$ の標準偏差は $\frac{1}{10}$ なので、 $Z = \frac{\bar{X}-1}{\frac{1}{10}} = 10(\bar{X}-1)$ となる。

したがって、ア は 10。

$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = P(10(0.9-1) \le Z \le 10(1.1-1)) = P(-1 \le Z \le 1)$

よって、イは 1。

$P(-1 \le Z \le 1) = P(-1 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 1) = 2P(0 \le Z \le 1)$

よって、ウは 2。

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$

$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = 2 \times 0.3413 = 0.6826$

よって、エオカは 683。

$n=400$ のとき、$\bar{X} \sim N(1, (\frac{1}{20})^2)$ となり、$Z = \frac{\bar{X}-1}{\frac{1}{20}} = 20(\bar{X}-1)$ となる。

$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = P(20(0.9-1) \le Z \le 20(1.1-1)) = P(-2 \le Z \le 2)$

$P(-2 \le Z \le 2) = 2P(0 \le Z \le 2)$

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$

$P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = 2 \times 0.4772 = 0.9544$

よって、キクケは 954。

$n$ が大きくなると、$\bar{X}$ は母平均に近づくので、確率は大きくなる。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 2

エオカ: 683

キクケ: 954

コ: 確率は大きくなる。