10万人が受験した試験の結果について、受験者の点数$X$は平均45点、標準偏差16点の正規分布に従う。偏差値$Y$を$Y = - \frac{10}{16}X + \frac{450}{16} + 50$と定義する。問題では、以下の値を求める。 - 偏差値$Y$の平均と標準偏差 - 標準正規分布に従う確率変数を求めるための式 - 偏差値が45である受験者の点数と対応する標準化変数$z$の値 - 偏差値が45である受験者の成績順位 - 上位4万番になるための標準化変数$z$の値と点数

1. 問題の内容

10万人が受験した試験の結果について、受験者の点数$X$は平均45点、標準偏差16点の正規分布に従う。偏差値$Y$を$Y = - \frac{10}{16}X + \frac{450}{16} + 50$と定義する。問題では、以下の値を求める。

- 偏差値$Y$の平均と標準偏差

- 標準正規分布に従う確率変数を求めるための式

- 偏差値が45である受験者の点数と対応する標準化変数$z$の値

- 偏差値が45である受験者の成績順位

- 上位4万番になるための標準化変数$z$の値と点数

2. 解き方の手順

(1) 偏差値$Y$の平均と標準偏差を求める。

$Y = -\frac{10}{16}X + \frac{450}{16} + 50$

$E[X] = 45$、$\sigma_X = 16$

$E[Y] = -\frac{10}{16}E[X] + \frac{450}{16} + 50 = -\frac{10}{16}(45) + \frac{450}{16} + 50 = -\frac{450}{16} + \frac{450}{16} + 50 = 50$

$\sigma_Y = |-\frac{10}{16}| \sigma_X = \frac{10}{16} \times 16 = 10$

したがって、アイは50、ウエは10。

(2) 標準正規分布に従う確率変数を求める式を求める。

$z = \frac{Y - \mu_Y}{\sigma_Y} = \frac{Y - 50}{10}$

したがって、オカは50、キクは10。

(3) 偏差値が45の受験者の点数を求める。

$45 = -\frac{10}{16}X + \frac{450}{16} + 50$

$45 - 50 = -\frac{10}{16}X + \frac{450}{16}$

$-5 = -\frac{10}{16}X + \frac{450}{16}$

$-5 \times 16 = -10X + 450$

$-80 = -10X + 450$

$10X = 530$

$X = 53$

したがって、ケコは53。

(4) 偏差値が45の受験者の$z$値を求める。

$z = \frac{45 - 50}{10} = \frac{-5}{10} = -0.5$

したがって、サシは-0、スセは5。

(5) 偏差値が45の受験者の成績順位を求める。$z = -0.5$なので、上位からの割合は$1 - \Phi(-0.5) = \Phi(0.5)$となる。$\Phi(0.5) \approx 0.6915$。

したがって、順位は約$100000 \times 0.6915 = 69150$位。

選択肢の中で最も近いのは69000。

したがって、ソは69000。

(6) 上位4万番になるための$z$値を求める。上位からの割合は$40000/100000 = 0.4$。

$\Phi(z) = 0.4$となる$z$は、$\Phi(-z) = 1 - 0.4 = 0.6$となる$z$を探す。正規分布表から$z \approx -0.2533$。したがって、$z$は約$-0.26$。

上位4万番になるためには$z=-0.26$。タは0.26ではなく、問題文をよく読むと上位４万番になるには$z$が**おおよそタ**となればよく、チ点ぐらいを取ればよいと書いてあるので、$z=0.26$とすれば良い.タは0.

2

6. $0.26 = \frac{X - 45}{16}$

$0.26 \times 16 = X - 45$

$4.16 = X - 45$

$X = 49.16$

したがって、約49点。チは49。

3. 最終的な答え

アイ：50

ウエ：10

オカ：50

キク：10

ケコ：53

サシ：-0

スセ：5

ソ：69000

タ：0.26

チ：49