鉄板100kgを生産する機械が正常に動作しているか調査するため、16枚の鉄板の重さを測定したところ、標本平均が108kg、標本不偏分散が400であった。鉄板の重さが正規分布に従うとき、母平均が100kgであるという仮説を、有意水準0.10で検定し、帰無仮説が棄却されるか採択されるか、また片側検定か両側検定かを選択する問題。

1. 問題の内容

鉄板100kgを生産する機械が正常に動作しているか調査するため、16枚の鉄板の重さを測定したところ、標本平均が108kg、標本不偏分散が400であった。鉄板の重さが正規分布に従うとき、母平均が100kgであるという仮説を、有意水準0.10で検定し、帰無仮説が棄却されるか採択されるか、また片側検定か両側検定かを選択する問題。

2. 解き方の手順

まず、帰無仮説と対立仮説を設定します。

帰無仮説：母平均は100kgである。($\mu = 100$)

対立仮説：母平均は100kgと異なる。($\mu \ne 100$)

次に、検定統計量を計算します。

標本サイズが小さい($n = 16 < 30$)ため、t検定を行います。

t値は次の式で計算します。

$t = \frac{\bar{x} - \mu}{\sqrt{s^2 / n}}$

ここで、

$\bar{x}$は標本平均（108kg）、

$\mu$は帰無仮説における母平均（100kg）、

$s^2$は標本不偏分散（400）、

$n$は標本サイズ（16）です。

これらの値を代入すると、

$t = \frac{108 - 100}{\sqrt{400 / 16}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5} = 1.6$

自由度は $n - 1 = 16 - 1 = 15$ です。

有意水準は0.10なので、両側検定の場合、有意水準は0.05ずつになります。

問題文に与えられたt分布表の値を見ると、$P(T_{15} > 1.34) = 0.10$、$P(T_{15} > 1.75) = 0.05$、$P(T_{15} > 2.13) = 0.025$　です。

計算されたt値は1.6であり、$P(T_{15} > 1.6)$が与えられていませんが、$P(T_{15} > 1.75) = 0.05$を用いて判断します。

両側検定の場合、t値が1.6であることに対して、右側の確率は$P(T_{15} > 1.6) > 0.05$であるため、左側の確率と足した両側の確率は有意水準0.10より大きくなります。よって、帰無仮説は棄却されません。

3. 最終的な答え

⑥両側検定で帰無仮説が採択された