袋の中に1と書かれたカードが1枚、2と書かれたカードが1枚、3と書かれたカードが2枚、合計4枚のカードが入っている。この袋から1枚カードを取り、それを戻さずにもう1枚カードを取り出す。取り出した2枚のカードに書かれた数字の和を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求める問題。

1. 問題の内容

袋の中に1と書かれたカードが1枚、2と書かれたカードが1枚、3と書かれたカードが2枚、合計4枚のカードが入っている。この袋から1枚カードを取り、それを戻さずにもう1枚カードを取り出す。取り出した2枚のカードに書かれた数字の和を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$X$ が取りうる値を考える。

取りうる値は、

1+2=3, 1+3=4, 2+1=3, 2+3=5, 3+1=4, 3+2=5, 3+3=6

取り出し方は全部で $4 \times 3 = 12$ 通りある。

$X=3$ となるのは、(1,2) および (2,1) の2通り。確率は $2/12 = 1/6$。

$X=4$ となるのは、(1,3) および (3,1) の2通り。確率は $2/12 = 1/6$。

$X=5$ となるのは、(2,3) および (3,2) の2通り。確率は $2/12 = 1/6$。

$X=6$ となるのは、(3,3) の$2 \times 1 = 2$ 通り。確率は $2/12 = 1/6$。

カードを区別すると,

$X=3$ となるのは, (1,2) および (2,1) の2通り。確率は $2/12 = 1/6$。

$X=4$ となるのは、(1,3a) および (1,3b), (3a,1), (3b,1) の4通り。確率は $4/12 = 1/3$。

$X=5$ となるのは、(2,3a) および (2,3b), (3a,2), (3b,2) の4通り。確率は $4/12 = 1/3$。

$X=6$ となるのは、(3a,3b) および (3b,3a) の場合, 2通りではない. 実際には, 3と3を区別しない場合は1通り.　 (3a, 3b) = $2 \times 1 = 2$通り. 確率は $2/12 = 1/6$.

$X$ の確率分布は以下のようになる。

| X | 3 | 4 | 5 | 6 | 合計 |

| -- | ----- | ----- | ----- | ----- | ---- |

| P(X) | 1/6 | 1/3 | 1/3 | 1/6 | 1 |

期待値 $E(X)$ は

$E(X) = 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{3} + 5 \times \frac{1}{3} + 6 \times \frac{1}{6}$

$E(X) = \frac{3}{6} + \frac{8}{6} + \frac{10}{6} + \frac{6}{6}$

$E(X) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

分散 $V(X)$ を求める。

$E(X^2) = 3^2 \times \frac{1}{6} + 4^2 \times \frac{1}{3} + 5^2 \times \frac{1}{3} + 6^2 \times \frac{1}{6}$

$E(X^2) = \frac{9}{6} + \frac{32}{6} + \frac{50}{6} + \frac{36}{6} = \frac{127}{6}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{127}{6} - (\frac{9}{2})^2 = \frac{127}{6} - \frac{81}{4} = \frac{254 - 243}{12} = \frac{11}{12}$

標準偏差 $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \sqrt{\frac{11}{4 \times 3}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$

3. 最終的な答え

期待値 $E(X)$ は $\frac{9}{2}$

標準偏差 $\sigma(X)$ は $\frac{\sqrt{33}}{6}$