赤球6個と白球5個、合計11個の球が入った袋から同時に3個の球を取り出すとき、3個とも白球である確率が $\frac{a}{33}$ と表される。このときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

赤球6個と白球5個、合計11個の球が入った袋から同時に3個の球を取り出すとき、3個とも白球である確率が $\frac{a}{33}$ と表される。このときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、11個の球から3個の球を取り出す場合の総数を計算します。これは組み合わせの問題なので、$_{11}C_3$ で求められます。

$_{11}C_3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$

次に、3個とも白球である場合の数を計算します。5個の白球から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{5}C_3$ で求められます。

$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、3個とも白球である確率は、

$\frac{_{5}C_3}{_{11}C_3} = \frac{10}{165} = \frac{2}{33}$

問題文より、この確率が $\frac{a}{33}$ と与えられているので、$\frac{a}{33} = \frac{2}{33}$ となり、$a = 2$。

3. 最終的な答え

a = 2