3本の木の太さ $x$ (cm)と高さ $y$ (m)のデータが与えられている。$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求め、小数第3位を四捨五入して、0.58と0.59に当てはまる数字を答える。ただし、$\sqrt{21} = 4.58$とする。

1. 問題の内容

3本の木の太さ $x$ (cm)と高さ $y$ (m)のデータが与えられている。$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求め、小数第3位を四捨五入して、0.58と0.59に当てはまる数字を答える。ただし、$\sqrt{21} = 4.58$とする。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の平均値 $\bar{x}$、$\bar{y}$ を計算する。

$\bar{x} = \frac{20+28+36}{3} = \frac{84}{3} = 28$

$\bar{y} = \frac{13+19+22}{3} = \frac{54}{3} = 18$

次に、$x$ と $y$ の標準偏差 $s_x$、$s_y$ を計算する。

$s_x^2 = \frac{(20-28)^2 + (28-28)^2 + (36-28)^2}{3} = \frac{(-8)^2 + 0^2 + 8^2}{3} = \frac{64+0+64}{3} = \frac{128}{3}$

$s_x = \sqrt{\frac{128}{3}} = \sqrt{\frac{128 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{384}}{3} = \frac{\sqrt{64 \times 6}}{3} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$

$s_y^2 = \frac{(13-18)^2 + (19-18)^2 + (22-18)^2}{3} = \frac{(-5)^2 + 1^2 + 4^2}{3} = \frac{25+1+16}{3} = \frac{42}{3} = 14$

$s_y = \sqrt{14}$

次に、$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ を計算する。

$s_{xy} = \frac{(20-28)(13-18) + (28-28)(19-18) + (36-28)(22-18)}{3} = \frac{(-8)(-5) + (0)(1) + (8)(4)}{3} = \frac{40+0+32}{3} = \frac{72}{3} = 24$

相関係数 $r$ は、

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{24}{\frac{8\sqrt{6}}{3} \sqrt{14}} = \frac{24 \times 3}{8\sqrt{6} \sqrt{14}} = \frac{9}{\sqrt{84}} = \frac{9}{\sqrt{4 \times 21}} = \frac{9}{2\sqrt{21}}$

与えられた$\sqrt{21} = 4.58$を用いると、

$r = \frac{9}{2 \times 4.58} = \frac{9}{9.16} = 0.98253...$

小数第3位を四捨五入すると、$r = 0.98$

3. 最終的な答え

0.98