3つの箱 A, B, C があり、赤球が8個、白球が30個ある。この38個の球から30個選び、3つの箱 A, B, C にそれぞれ10個ずつ入れる。同じ色の球は区別しないものとする。 (1) 箱Aに赤球が5個入るような入れ方は何通りあるか。 (2) どの箱にも少なくとも1個の赤球が入り、かつ、すべての赤球がいずれかの箱に入るような入れ方は何通りあるか。 (3) 入れ方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

3つの箱 A, B, C があり、赤球が8個、白球が30個ある。この38個の球から30個選び、3つの箱 A, B, C にそれぞれ10個ずつ入れる。同じ色の球は区別しないものとする。

(1) 箱Aに赤球が5個入るような入れ方は何通りあるか。

(2) どの箱にも少なくとも1個の赤球が入り、かつ、すべての赤球がいずれかの箱に入るような入れ方は何通りあるか。

(3) 入れ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに赤球が5個入る場合、箱Aには残りの5個は白球が入る。残りの赤球は3個、白球は25個となる。箱B,Cにはそれぞれ10個ずつ球を入れるので、箱Bに入れる赤球の個数によって場合分けして考える。

箱Bに入れる赤球の個数を $k$ とすると、箱Bには白球が $10-k$ 個入る。箱Cには赤球が $3-k$ 個、白球が $25-(10-k) = 15+k$ 個入る。$k$ の取りうる値は $0 \le k \le 3$ である。また、$15+k \le 30$ なので、 $k \le 15$ である。よって、$0 \le k \le 3$。

$k=0$ のとき、箱Bには白球10個、箱Cには赤球3個、白球17個が入る。この場合の数は1通り。

$k=1$ のとき、箱Bには赤球1個、白球9個、箱Cには赤球2個、白球18個が入る。この場合の数は1通り。

$k=2$ のとき、箱Bには赤球2個、白球8個、箱Cには赤球1個、白球19個が入る。この場合の数は1通り。

$k=3$ のとき、箱Bには赤球3個、白球7個、箱Cには赤球0個、白球20個が入る。この場合の数は1通り。

したがって、合計で $1+1+1+1 = 4$ 通りである。

(2) 箱 A, B, C に少なくとも1個の赤球が入り、すべての赤球がいずれかの箱に入る場合を考える。

まず、A, B, C にそれぞれ1個ずつ赤球を入れ、残りの5個の赤球を A, B, C に分ける。

残りの5個の赤球を A, B, C に分ける方法は、重複組み合わせで ${}_{3}H_{5} = {}_{3+5-1}C_{5} = {}_{7}C_{5} = {}_{7}C_{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ 通り。

各箱には残りの白球を加えて10個にする。

例えば、Aに赤球が1+0個、Bに1+1個、Cに1+4個の場合、Aには白球9個、Bには白球8個、Cには白球6個を追加する。

$9+8+6 = 23 \le 30$ なので、条件を満たす。

各箱に少なくとも1個の赤球が入るようにするには、まず各箱に1個ずつ赤球を入れる。残りの赤球は5個。この5個を3つの箱に入れる方法は ${}_3 H_5 = {}_7 C_5 = {}_7 C_2 = 21$ 通り。

したがって、入れ方は21通り。

(3) 箱 A, B, C に合計10個ずつ球を入れる場合の総数を考える。

各箱に白球だけが入る場合もあるので、箱 A に入る赤球の数を $a$, 箱 B に入る赤球の数を $b$, 箱 C に入る赤球の数を $c$ とする。このとき、$a+b+c \le 8$ である。

$a+b+c+d = 8$ を満たす非負整数の組 $(a, b, c, d)$ の数を考える。これは ${}_4 H_8 = {}_{4+8-1}C_8 = {}_{11}C_8 = {}_{11}C_3 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165$ 通り。

箱 A に入る赤球の数を $a$, 白球の数を $10-a$, 箱 B に入る赤球の数を $b$, 白球の数を $10-b$, 箱 C に入る赤球の数を $c$, 白球の数を $10-c$ とする。$a+b+c = 30-30 = 0,1, \dots, 8$

したがって、165通り。

3. 最終的な答え

(1) 4通り

(2) 21通り

(3) 165通り