1から7までの数字が書かれた7枚のカードから5枚を取り出す場合の数、並べ方に関する問題です。 (1) 5枚のカードの取り出し方の総数を求めます。 (2) 偶数2枚、奇数3枚を取り出して並べる並べ方の総数と、そのうち奇数が両端にくるような並べ方の総数を求めます。 (3) 5枚のカードの数の和が20となるようなカードの組み合わせを選び、横一列に並べる並べ方の総数と、そのうち奇数が隣り合わないような並べ方の総数を求めます。

1. 問題の内容

1から7までの数字が書かれた7枚のカードから5枚を取り出す場合の数、並べ方に関する問題です。

(1) 5枚のカードの取り出し方の総数を求めます。

(2) 偶数2枚、奇数3枚を取り出して並べる並べ方の総数と、そのうち奇数が両端にくるような並べ方の総数を求めます。

(3) 5枚のカードの数の和が20となるようなカードの組み合わせを選び、横一列に並べる並べ方の総数と、そのうち奇数が隣り合わないような並べ方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 7枚のカードから5枚を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を利用します。

$_7C_5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(2) 1から7までのカードには、偶数が3枚（2,4,6）、奇数が4枚（1,3,5,7）あります。

偶数2枚、奇数3枚を選ぶ組み合わせは、$_3C_2 \times _4C_3 = \frac{3!}{2!1!} \times \frac{4!}{3!1!} = 3 \times 4 = 12$通りです。

選んだ5枚のカードを並べる並べ方は、$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通りです。

したがって、並べ方の総数は$12 \times 120 = 1440$通りです。

奇数が両端に来る場合、まず両端に奇数を配置する方法は、3つの奇数から2つを選んで並べるので、$_4P_2 = 4 \times 3 = 12$通りです。

残りの3枚（偶数2枚と奇数1枚）を並べる並べ方は$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通りです。

したがって、奇数が両端に来る並べ方の総数は$12 \times 6 \times 12 = 72 \times 6 = 432$ 通りです。　　ただし、選んだ組み合わせは12通りなので

$12 \times 432=1440$

(3) 5枚のカードの数の和が20になる組み合わせを考えます。

カードの数字は1から7なので、考えられる組み合わせは以下の通りです。

{3,4,5,6,7}

並べ方の総数は $5! = 120$通りです。

奇数が隣り合わない並べ方を考えます。カードは奇数3枚（3,5,7）、偶数2枚（4,6）です。

まず偶数2枚を並べます。並べ方は$2! = 2$通りです。

次に偶数の間に3つのスペースと、両端の2つのスペース、合計3箇所に奇数3枚を並べるので、

並べ方は$_3P_3 = 3! = 6$通りです。

したがって、奇数が隣り合わない並べ方の総数は、$2 \times 6 = 12$通りです。

並び方は120通りなので、奇数が隣り合わない場合は6*2＝12です。

3. 最終的な答え

(1) 21通り

(2) 並べ方の総数: 1440通り、奇数が両端: 432通り

(3) 並べ方の総数: 120通り、奇数が隣り合わない: 12通り